Calcolo del massimo comune divisore

Nell’articolo “Introduzione al massimo comune divisore” abbiamo visto nel dettaglio qual è il significato delle parole massimo, comune e divisore. In questo articolo vedremo come si esegue il calcolo del massimo comune divisore. Prima di cominciare con i numeri è il caso di fare una piccola premessa. Alcuni libri usano l’abbreviazione M.C.D., altri invece usano m.c.d.. È la stessa cosa, non c’è una regola accettata da tutti. Io ti consiglio di usare l’abbreviazione usata dalla tua prof. Io userò M.C.D..

Non ti preoccupare se all’inizio le cose ti risulteranno poco chiare o se impiegherai tanto tempo per svolgere gli esercizi. È normale. Solo con la pratica e l’esercizio si diventa veloci (non che la velocità sia poi così importante. L’importante è capire i concetti e applicarli nel modo corretto). All’inizio ci vuole un po’ di tempo. Mia nonna mi diceva sempre: “Nessuno nasce imparato” e aveva ragione.


Ti potresti chiedere a cosa serve l’M.C.D. Le risposte sono tante. Sapere come si calcola l’M.C.D. ti serve innanzi tutto per fare una buona verifica di matematica, ti potrebbe servire per il test INVALSI o per verificare se un’equazione diofantea ammette soluzioni oppure no e poi soprattutto ti serve per imparare a ragionare e a usare la testa.


    Indice



Esempio 1

Proviamo a calcolare il massimo comune divisore tra il numero 12 e numero 20. Si scrive così:

Iniziamo con un procedimento un po’ lungo, ma che ci fa capire quello che stiamo facendo. Scriviamo per prima cosa tutti i divisori del numero 12.

Calcolo del massimo comune divisore

Molto bene. Adesso scriviamo sotto tutti i divisori del numero 20.

Calcolo del massimo comune divisore

Guardiamo le due serie di numeri. Possiamo vedere come alcuni numeri sono sia divisori di 12, sia divisori di 20. Vediamo quali sono:

Calcolo del massimo comune divisore

Ok. Abbiamo visto che i numeri 1, 2 , e 4 sono divisori sia del 12 sia del 20. Detta in un altro modo: i numeri 12 e 20 hanno in comune i seguenti divisori: 1, 2 e 4. Oppure possiamo anche dire che i numeri:

1, 2 e 4 sono divisori comuni di 12 e 20.

Ma a noi non interessano tutti i divisori comuni. A noi interessa solo il massimo comune divisore. Cioè ci interessa solo il più grande tra i numeri che abbiamo elencato. Cioè il numero 4.

Fantastico. 4 è il risultato che stavamo cercando. Il numero 4 è il M.C.D. tra i numeri 12 e 20. Esercizio concluso.


Facciamo un altro esempio di calcolo del massimo comune divisore.

Esempio 2

Calcoliamo l’ M.C.D. tra 168 e 96. Usando il metodo descritto nel primo esempio dovremmo scrivere tutti i divisori del 168, che non è una cosa facile, anzi è facile sbagliare. Il primo metodo funziona bene solo con i numeri piccoli, ma non funziona con quelli grandi.

Calcolo del massimo comune divisore

No. Non può funzionare. Ci deve essere un altro metodo, un’altra strada. L’altra strada prevede la scomposizione in fattori primi dei numeri di cui si vuole calcolare l’ M.C.D.. Se non ti ricordi come si scompongono i numeri in fattori primi, puoi dare un’occhiata al mio articolo: la scomposizione in fattori primi.

Dobbiamo scomporre in fattori primi il numero 168 e il numero 96.

Calcolo del massimo comune divisore

Quella che leggi sopra è la scomposizione in fattori primi del 168 e del 96.

Ora dobbiamo scegliere in modo corretto i fattori che ci permetteranno di calcolare l’M.C.D..

La regola dice che:

Per calcolare il massimo comune divisore vanno scelti i fattori comuni, presi una sola volta, con il minore esponente“.

Vediamo cosa vuol dire. Fattori comuni vuol dire che devono comparire sia nella scomposizione del 168, sia nella scomposizione del 96. Quindi il numero 7, che compare come fattore solo nella scomposizione del 168, non può essere considerato.

Calcolo del massimo comune divisore

Poi la regola dice che tra quelli comuni dobbiamo scegliere quello con l’esponente minore. Quindi tra

23 e 25

dobbiamo scegliere 23 poichè il 3 è minore del 5.

Calcolo del massimo comune divisore

Ci rimane l’ultimo fattore: il 3. In entrambe le scomposizioni il 3 compare con lo stesso esponente (1, che non si scrive, quindi 3 = 31). La regola dice che il fattore deve essere preso una sola volta. Quindi ne scegliamo uno e scartiamo l’altro.

Calcolo del massimo comune divisore

Quindi i fattori che ci permettono di calcolare in modo corretto l’M.C.D. sono: 23 e 3.

Passiamo al calcolo del massimo comune divisore:

Calcolo del massimo comune divisore

Fantastico. Abbiamo concluso. Il risultato che stavamo cercando è 24.


Esercizi in pdf

Adesso possiedi gli strumenti necessari per calcolare il massimo comune divisore tra qualsiasi coppia di numeri. Il procedimento è lo stesso se i numeri invece di essere due sono tre o anche di più. Se vuoi, puoi metterti alla prova con gli esercizi che trovi nel file pdf subito sotto. Lavora con calma, non avere fretta e se sbagli non ti preoccupare, nessuno verrà a rimproverarti.

  Il massimo comune divisire – Esercizi.pdf

Buon lavoro.



Tra le pagine del volume 1 del libro di matematica avresti dovuto trovare le tavole numeriche. Le tavole numeriche sono uno strumento molto utile che puoi utilizzare in classe anche durante le verifiche. Quindi è importante possederle. Se hai comprato il libro di seconda mano però è molto probabile che tu non le abbia trovate, si perdono con facilità. Se non ti ricordi dove le hai messe o le hai perse non preoccuparti. Visitando questa pagina della Casa Editrice Zanichelli puoi consultare le tavole numeriche. Inoltre hai anche la possibilità di scaricarle come file pdf per poterle consultare sul tuo pc anche quando sei off-line. Se intendi scaricare le tavole, ma non sai come fare, puoi seguire le istruzioni alla fine di questo mio articolo.


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