Calcolo del massimo comune divisore

In un articolo precedente abbiamo visto qual è il significato delle parole massimo, comune e divisore. In questo articolo vedremo come si esegue il calcolo del massimo comune divisore. Prima di cominciare con i numeri è il caso di fare una piccola premessa. Alcuni libri usano l’abbreviazione M.C.D., altri invece usano m.c.d.. È la stessa cosa, non c’è una regola accettata da tutti. Io ti consiglio di usare l’abbreviazione usata dalla tua prof. Io userò M.C.D..

Non ti preoccupare se all’inizio le cose ti risulteranno poco chiare o se impiegherai tanto tempo per svolgere gli esercizi. È normale. Solo con la pratica e l’esercizio si diventa veloci. All’inizio ci vuole un po’ di tempo. Mia nonnna mi diceva sempre:“Nessuno nasce imparato” e aveva ragione.

Ti potresti chiedere a cosa serve l’M.C.D. Le risposte sono tante. Sapere come si calcola l’M.C.D. ti serve innanzi tutto per fare una buona verifica di matematica, ti potrebbe servire per il test INVALSI, poi soprattutto ti serve per imparare a ragionare e a usare la testa.


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Esempio 1

Proviamo a calcolare il massimo comune divisore tra il numero 12 e numero 20. Si scrive così:

Iniziamo con un procedimento un po’ lungo, ma che ci fa capire quello che stiamo facendo. Scriviamo per prima cosa tutti i divisori del numero 12.

Calcolo del massimo comune divisore

Molto bene. Adesso scriviamo sotto tutti i divisori del numero 20.

Calcolo del massimo comune divisore

Guardiamo le due serie di numeri. Possiamo vedere come alcuni numeri sono sia divisori di 12, sia divisori di 20. Vediamo quali sono:

Calcolo del massimo comune divisore

Ok. Abbiamo visto che i numeri 1, 2 , e 4 sono divisori sia del 12 sia del 20. Detta in un altro modo: i numeri 12 e 20 hanno in comune i seguenti divisori: 1, 2 e 4. Oppure possiamo anche dire che i numeri:

1, 2 e 4 sono divisori comuni di 12 e 20.

Ma a noi non interessano tutti i divisori comuni. A noi interessa solo il massimo comune divisore. Cioè ci interessa solo il più grande tra i numeri che abbiamo elencato. Cioè il numero 4.

Fantastico. 4 è il risultato che stavamo cercando. Il numero 4 è il M.C.D. tra i numeri 12 e 20.

ESEMPIO 2

Facciamo un altro esempio di calcolo del massimo comune divisore.

Calcoliamo l’ M.C.D. tra 168 e 96. Usando il metodo descritto nel primo esempio dovremmo scrivere tutti i divisori del 168, che non è una cosa facile, anzi è facile sbagliare. Il primo metodo funziona bene solo con i numeri piccoli, ma non funziona con quelli grandi.

No. Non può funzionare. Ci deve essere un altro metodo, un’altra strada. L’altra strada prevede la scomposizione in fattori primi dei numeri di cui si vuole calcolare l’ M.C.D.. Se non ti ricordi come si scompongono i numeri in fattori primi, puoi dare un’occhiata al mio articolo.

Dobbiamo scomporre in fattori primi il numero 168 e il numero 96.

Quella che leggi sopra è la scomposizione in fattori primi del 168 e del 96.

Ora dobbiamo scegliere in modo corretto i fattori che ci permetteranno di calcolare l’M.C.D..

La regola dice che:”Per calcolare il massimo comune divisore vanno scelti i fattori comuni, presi una sola volta, con il minore esponente“.

Vediamo cosa vuol dire. Fattori comuni vuol dire che devono comparire sia nella scomposizione del 168, sia nella scomposizione del 96. Quindi il numero 7, che compare come fattore solo nella scomposizione del 168, non può essere considerato.

Calcolo del massimo comune divisore

Poi la regola dice che tra quelli comuni dobbiamo scegliere quello con l’esponente minore. Quindi tra

23 e 25

dobbiamo scegliere 23 poichè il 3 è minore del 5.

Ci rimane l’ultimo fattore: il 3. In entrambe le scomposizioni il 3 compare con lo stesso esponente (1, che non si scrive, quindi 3 = 31). La regola dice che il fattore deve essere preso una sola volta. Quindi ne scegliamo uno e scartiamo l’altro.

Quindi i fattori che ci permettono di calcolare in modo corretto l’M.C.D. sono: 23 e 3. Passiamo al calcolo:

Fantastico. Abbiamo concluso. Il risultato che stavamo cercando è 24.


link utili

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