La prof oggi in classe ha parlato di media, mediana e moda. Ma eri troppo concentrato a guardare fuori dalla finestra e non hai capito molto. Ora stai provando a fare gli esercizi, ma non sai da che parte cominciare. Niente paura con 5 minuti di impegno saprai come si determinano.
Facciamo subito qualche esempio numerico.
Indice
- Come si calcola la media, primo esempio
- Secondo esempio: media e moda
- Terzo esempio: media e moda non coincidono
- Quarto esempio: non sempre la media è un buon descrittore
- Come si determina la mediana
- Quando usare la mediana
- Quinto esempio
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Come si calcola la media, primo esempio
Cominciamo con un esempio per capire cosa sono e a cosa servono media, mediana e moda.
La media è un numero che serve per descrivere un gruppo di altri numeri ( la tua prof probabilmente avrà detto: ” È un indice descrittivo” ). Facciamo un esempio. In basso leggi i voti di Linda nelle ultime tre verifiche di matematica:
Voti di Linda in matematica → 9 ; 6; 9;
Come si calcola la media? Non è poi così difficile. Bisogna eseguire due passaggi.
- Bisogna addizionare tutti i voti → 9 + 6 + 9 = 24
- Adesso dobbiamo dividere 24 per il numero di voti. Siccome abbiamo preso in considerazione le ultime tre verifiche, allora dobbiamo dividere per 3 e quindi eseguire la divisione 24 : 3 = 8 .
Abbiamo appena calcolato la media dei voti di Linda, che è 8.
Secondo esempio: media e moda
Facciamo un altro esempio, per essere sicuri di avere capito. Calcoliamo la media dei voti di Davide nelle interrogazioni di Storia.
Voti di Davide in storia → 7 ; 7; 8½; 5½; 7.
- Sommiamo tutti i voti → 7 + 7 + 8,5 + 5,5 + 7 = 35 ;
- Eseguiamo la divisione 35 : 5 = 7 ;
Il voto medio di Davide in storia è 7. Abbiamo divisi per 5 perché i voti che abbiamo sommato erano 5.
Possiamo anche determinare la moda dei voti di Davide. La moda è il voto che ha preso più spesso. Nel nostro esempio, Davide in 3 interrogazioni prende 7, in una 8½ e in una 5½. Il voto più frequente è 7.
Detto in altre parole, la moda dei voti di Davide è 7. Non sempre media e moda coincidono come in questo caso.
Per rendercene conto, vediamo l’esempio che segue.
Terzo esempio: media e moda
Vediamo ora un esempio in cui moda e media non coincidono. In basso leggi i voti di Nicole in scienze:
6½ ; 5 ; 7½ ; 5 ;
Calcoliamo la media.
6,5 + 5 +7,5 + 5 = 24 ;
Adesso dobbiamo dividere 24 per il numero di voti, che in questo caso è 4.
24 : 4 = 6.
La media di Nicole è 6.
Determiniamo la moda, cioè il voto che ha preso più spesso (il voto che va più di moda).
voti → 6½ ; 5 ; 7½ ; 5 ;
Se riguardiamo i voti, vediamo che quello più frequente è 5.
Quindi la moda è 5. Finito.
Quarto esempio: non sempre la media è un buon descrittore
Abbiamo detto che la media è un numero che serve a descrivere un gruppo di altri numeri. Con gli esempi dei voti, la media non solo è utile, ma è un buon metodo per descrivere i voti.
Ora facciamo un altro esempio. Ci sono 5 persone diverse che hanno guadagni diversi: l’imprenditore Elon, la maestra Maria, l’idraulico Mario, la sarta Filomena e la nonna Piera.
L’imprenditore Elon ha molte attività che vanno dal al possedere una casa automobilistica alla ricerca aerospaziale. Supponiamo che il suo guadagno mensile sia di 3`000`000 € ( tre milioni di euro).
La maestra Maria guadagna circa 2`000 € al mese.
Il signor Mario che fa l’idraulico invece guadagna 1`500 al mese.
Il guadagno della sarta Filomena è di 2`200 € mensili.
La nonna Piera con il reddito di cittadinanza arriva a 800 € al mese.
Quanti possono permettersi di comprare una Ferrari Portofino rossa fiammante che costa circa 200`000 € ?
Proviamo a calcolare qual è il loro guadagno medio.
Per calcolare il reddito medio mensile, dobbiamo sommare tutti i redditi e dividerli per 5.
3`000`000 € + 2`000 € + 2`200 € + 1`500 € + 800 € = 3`006`500 €
diviso 5
3`006`500 € : 5 = 601`300 € ;
La media ci dice che le persone che abbiamo appena visto guadagnano circa 600`000 € al mese a testa. Se diamo ascolto alla media, ognuna di loro potrebbe permettersi di comprare una Ferrari Portofino, anche nonna Piera.
Ma la realtà delle cose è ben diversa. Solo Elon può permettersi l’acquisto di un’automobile che costa circa 200`000 € , le altre 4 persone non possono comprare una Ferrari, anche se guardando solo la media si direbbe di sì.
In un caso come questo, per descrivere al meglio i dati che si hanno, conviene usare la mediana e non la media.
Vediamo come si determina la mediana e perché in questo esempio è un descrittore migliore della media.
Come si determina la mediana
Per determinare la media, occorre ordinare i dati (in questo caso i guadagni) in ordine, partendo dal più piccolo (ordine crescente).
Dopo aver disposto i dati in ordine crescente, si deve individuare la mediana, cioè il dato che si trova a metà della distribuzione (come il punto medio di un segmento si trova nel mezzo del segmento o come il dito medio che si trova al centro delle altre dita).
Il dato che si trova al centro esatto della distribuzione è 2`000 €.
La mediana descrive i nostri dati meglio della media. Infatti se in media le 5 persone che abbiamo visto guadagnano circa 600`000 € a testa al mese (cosa lontana dall’essere vera), la mediana ci dice che il guadagno di ognuna di quelle persone è circa 2`000 €. Un guadagno di 2`000 € si avvicina maggiormente alla realtà.
In questo caso la mediana descrive meglio i dati rispetto alla media. Spero che ora la differenza tra media, mediana e moda ti sia più chiara.
Quando usare la mediana
Ma quando ci possiamo fidare della media e quando invece faremmo meglio a usare la mediana?
Nell’esempio precedente salta subito all’occhio la grande differenza che c’è tra il guadagno di Elon e il guadagno delle altre 4 persone. Quando un dato si allontana molto dagli altri, viene chiamato valore anomalo oppure usando una parola inglese outlier.
Se nella distribuzione di dati che vogliamo descrivere, c’è un outlier, allora è consigliabile usare la mediana e non la media.
Quinto esempio
Facciamo ancora un altro esempio per essere sicuri di avere capito media, mediana e moda. Vogliamo descrivere con un solo numero l’età delle persone nella foto. Vediamo le nostre conoscenze, da sinistra a destra: Martina, Aurora, Giulia, il nonno di Giulia (nonno Giuseppe) e Sofia.
Le età delle persone sono:
- Martina → 13 anni;
- Aurora → 14 anni ;
- Giulia → 13 anni ;
- Nonno Giuseppe → 75 ;
- Sofia 12 → anni.
L’età media è:
13 + 14 + 13 +68 +12 = 120
poi dividiamo per 5
120 : 5 = 24.
Secondo la media, tutte le persone hanno l’età sufficiente a prendere la patente. Ma non è la verità. Solo una persona ha più di 18 anni.
In questo insieme di dati, è presente un valore anomalo, cioè l’età del nonno di Giulia. Visto che è presente un outlier, è meglio usare la mediana per descrivere i dati.
Mettiamo i dati in ordine crescente:
12 – 13 – 13 – 14 – 75
la mediana è :
12 – 13 – 13 – 14 – 75
13. La mediana descrive meglio i dati rispetto alla media.
In questo esempio moda e mediana coincidono, infatti anche la moda è 13.
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