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Che differenza c’è tra uguale e congruente?

Oggi la prof di matematica ha spiegato quando due figure geometriche sono congruenti. Durante l’intervallo alcuni tuoi compagni dicevano che dire congruenti e dire uguali era la stessa cosa. Altri invece dicevano che sono due cose diverse. Tu non ci hai capito molto e sei finito qua. Dopo che avrai letto questo articolo spero che non avrai più dubbi su che differenza c’è tra uguale e congruente.


indice


“congruente” si usa in geometria

Una grande differenza è che la parola congruente si usa solo in geometria. In aritmetica la parola congruente non viene usata. Quindi questo ci fa capire che il concetto di congruente ha a che fare con la geometria, ma non con l’aritmetica.

il concetto di uguaglianza

Partiamo dalle cose più semplici. La parola uguale viene usata in aritmetica (ma vedremo anche in geometria), per esempio nell’addizione:

2 + 2 = 4

usiamo la parola uguale e usiamo anche il simbolo di uguaglianza, cioè “=“.

Il simbolo = di uguaglianza vuol dire che la quantità che c’è a sinistra dell’uguale deve essere uguale alla quantità che si trova a destra. Ma queste sono cose che abbiamo imparato alle elementari:

2 · 5 = 10

Che differenza c'è tra uguale e congruente?

Credo che sul simbolo uguale = e sul significato di uguaglianza siamo tutti d’accordo. Passiamo al concetto di congruente.


il concetto di congruenza

Secondo la definizione più diffusa e usata: “Due figure che sovrapposte tramite traslazioni e/o rotazione, coincidono in ogni punto, sono congruenti“. Chiaro? Non tanto. Semplice? Nemmeno. Guardiamo le figure geometriche nella lavagna sotto e cerchiamo di chiarirci un po’ le idee.

Che differenza c'è tra uguale e congruente?

Abbiamo un quadrato ABCD e un rettangolo EFGH. Bene, adesso proviamo a spostare il quadrato sul rettangolo (questo spostamento è chiamato traslazione) e vediamo se tutti i punti del quadrato coincidono con quelli del rettangolo.

Che differenza c'è tra uguale e congruente?
Il lato CD e il lato GH coincidono, ma il lato AB e il lato EF non coincidono

I vertici in alto, cioè i punti D e H coincidono così come coincidono i punti C e G. Ma gli altri vertici no. Per esempio il vertica A e il vertice E non coincidono. Il lato AB e il lato EF non si sovrappongono. Si dice che le due figure non sono perfettamente sovrapponibili, quindi non sono congruenti. (Si vedeva anche a occhio che non erano perfettamente sovrapponibili).


Osserviamo adesso queste altre due figure. Sono due quadrati, non farti ingannare dalla disposizione del secondo quadrato. (Un quadrilatero per essere un quadrato deve avere 4 angoli retti e tutti i 4 lati della stessa lunghezza).

Che differenza c'è tra uguale e congruente?

Bene, adesso dobbiamo verificare se sono sovrapponibili. Ruotiamo il secondo quadrato. Dobbiamo immaginare di dare una piccola spinta al vertice G e fare cadere il quadrato sul lato EF.

Che differenza c'è tra uguale e congruente?

Dopo la rotazione, la situazione è questa:

Che differenza c'è tra uguale e congruente?

Adesso spostiamo (trasliamo) il primo quadrato sul secondo.

Dopo la traslazione, la situazione è quella che vedi sotto.

Che differenza c'è tra uguale e congruente?

Le due figure si sovrappongono perfettamente. Non è più possibile distinguere la prima figura dalla seconda. I due quadrati sono congruenti.

Bene, questo è il concetto di congruenza.


Uguali o congruenti ?

Ma torniamo ai due quadrati dopo che abbiamo fatto ruotare il secondo. Sono uguali o diversi?

Che differenza c'è tra uguale e congruente?
Poligoni realizzati con il software opensource GeoGebra

Qualcuno potrebbe dire che sono diversi perchè sono di colore diverso. Ma in geometria i colori non hanno nessun valore. Per cui togliamo il colore e vediamo cosa rimane.

Che differenza c'è tra uguale e congruente?

Osserviamo ora i due quadrati. Come ti sembrano? La risposta che viene naturale è: “Uguali”. Per me (e non solo per me) andrebbe bene. Altri prof, invece, vogliono sentirsi dire che i due quadrati sono congruenti. In parole povere dire “le due figure sono congruenti” è un modo difficile per dire “le due figure sono uguali”.

Concludendo, se qualcuno mi chiede: “Che differenza c’è tra uguale e congruente?” Io rispondo: “Non c’è nessuna differenza”. Io ritengo che dire uguali o dire congruenti sia la stessa cosa, ma attenzione, ripeto, alcuni prof ci tengono molto alle definizioni. Per quanto mi riguarda, ai miei alunni faccio usare il termine congruente o il termine uguale a loro piacimento, perchè sono convinto che siano la stessa cosa. Ma non tutti la pensiamo allo stesso modo. Il consiglio che posso darti è di usare la terminologia che usano i tuoi insegnanti.


il simbolo ≅ di congruenza geometrica

Passiamo alla questione simboli. Il simbolo dell’uguaglianza lo conosciamo tutti:

=

Esiste un simbolo che indica la congruenza? Ricordiamo che il concetto di congruente è esclusivo della geometria. Quindi ci potremmo chiedere:” Esiste un simbolo che indica la congruenza geometrica?” La risposta è “dipende”. Dipende dalla tua prof e dal libro che usate.

Infatti alcuni libri e alcuni prof per indicare la congruenza geometrica usano questo simbolo:

cioè il segno di uguale con una piccola onda sopra.


il simbolo ≅ di approssimazione

Ma attenzione. Lo stesso simbolo usato in aritmetica ha un significato molto diverso, infatti

significa approssimativamente uguale a.  Per esempio:

5,7 ≅ 6

Anche i simboli ∼  ≈  indicano a approssimazione in aritmetica. Per cui bisogna fare attenzione.

Dato che ritengo congruente e uguale la stessa cosa, io non uso il simbolo ≅, ma uso solo il simbolo =.

Per indicare l’approssimazione matematica è possibile usare ≈.

Credo che l’importante sia evitare di generare confusione con simboli che possono essere intesi in più di un modo.


ESEMPIO

Rotazione seguita da traslazione

Le due figure sono perfettamente sovrapponibili, allora si può dire che sono congruenti. Detto in modo semplice: le due figure sono uguali.



Se hai domande o dubbi puoi lasciare un commento oppure puoi scrivere alla casella mail: matematica.facile@libero.it