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Le frazioni e i numeri razionali

Cara mamma, mentre stavi aiutando tua figlia con gli esercizi di matematica ti è venuto qualche dubbio. L’argomento che ha spiegato oggi la prof riguarda i numeri razionali. Ti sei subito ricordata che non ti erano piaciuti nemmeno quando li avevi studiati tu alle medie. Ma non preoccuparti, con 10 minuti di impegno sarà tutto più chiaro. Non perdiamo altro tempo e cominciamo a vedere le frazioni e i numeri razionali.


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I numeri razionali: cosa vuol dire razionale

Ti è abbastanza chiaro quali sono i numeri naturali, ma i numeri razionali non riesci proprio a digerirli. Cominciamo con eliminare qualche possibile frainteso. Quando si parla di numeri razionali, la parola razionale non ha niente a che vedere con il significato di ragionevole, logico e dotato di raziocinio. In italiano può capitare che una stessa parola abbia più di un significato. Per esempio la parola venti può indicare il numero 20 oppure può indicare lo spostamento di una massa d’aria (burrasca e forti venti). Allo stesso modo anche la parola razionale ha più di un significato.

In matematica, quando si parla di numero razionale, si parla di un numero che può essere espresso tramite un rapporto, cioè tramite una divisione oppure tramite una frazione (del resto, come ho già avuto modo di dirti, le frazioni sono divisioni scritte in un modo un po’ diverso). Rapporto in latino si dice ratio (leggi razio) da cui deriva la parola razionale.


Facciamo un esempio. Hai presente quei distributori di bottigliette d’acqua che si trovano nelle stazioni o nei luoghi pubblici? Forse ce ne sarà uno anche nella scuola di tua figlia. In genere una bottiglietta d’acqua costa circa 50 centesimi di euro, che scritto in modo diverso diventa 0,50 € (cioè mezzo euro).

Le frazioni e i numeri razionali

Molto bene, dalla scuola elementari, sappiamo che se dopo la virgola abbiamo solo degli zeri, possiamo anche evitare di scriverli, quindi

0,50 = 0,5

Benissimo, credo che fin qui sia tutto facile.

La cosa interessante è che il numero 0,5 (che avendo la virgola è un numero decimale) può anche essere scritto sotto forma di frazione, questo vuol dire che è un numero razionale.

In particolare la frazione che corrisponde a 0,5 è:

Le frazioni e i numeri razionali

Se quello che leggi alla lavagna ti sembra strano, prova a eseguire la divisione con la calcolatrice. Ti ricordo che la frazione 1 fratto 2 (che si può anche leggere un mezzo) equivale alla divisione

1 : 2 = 0,5

Quindi la frazione un mezzo indica la metà di una quantità. Per capire quanto detto ci possiamo aiutare anche con una pizza. Immaginiamo che Nicole vada in pizzeria, ordini la sua pizza preferita e la divida in due parti uguali.

A inizio serata

Però Nicole riesce a mangiarne solo metà. Avrà mangiato un mezzo della sua pizza, cioè una parte su due, cioè 0,5.

A fine serata

Tutti i numeri razionali possono essere rappresentati con le frazioni

Torniamo ai numeri razionali. I numeri razionali sono tutti quei numeri che possono essere rappresentati con un rapporto, cioè con una frazione. È possibile sistemare tutti i numeri razionali sulla semiretta numerica, così come avevamo fatto con i numeri naturali.

Abbiamo appena visto che i numeri razionali possono essere espressi sia come frazione, sia come numeri decimali, cioè con la virgola. Questo dipende da quello che stiamo facendo. A volte è conveniente scriverli come frazioni, invece in altre occasioni è conveniente scriverli come numeri decimali, dipende da noi, o meglio dall’esercizio che dobbiamo eseguire.

Le frazioni e i numeri razionali
I numeri razionali possono essere espressi o come numeri decimali (numeri con la virgola) oppure come frazioni.

Nel prossimo articolo vedremo come si fa a passare da un numero decimale alla frazione corrispondente, per esempio come si fa a capire che la frazione tre mezzi equivale al numero decimale 1,5.


L’insieme Q

I numeri razionali vengono raggruppati in un recinto (in matematica si dice un insieme) che viene individuato dalla lettera maiuscola Q che sta per “Quoziente”, che sappiamo essere il risultato della divisione.

Le frazioni e i numeri razionali

Naturalmente nella figura, sono rappresentati solo alcuni numeri razionali poichè è impossibile rappresentarli tutti poichè sono infiniti.


I numeri naturali sono nello stesso tempo numeri razionali

I numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri razionali. Detto in altre parole, i numeri naturali, sono nello stesso tempo anche numeri razionali perchè possono essere rappresentati tramite un rapporto. Può sembrare una cosa strana, ma possiamo fare molti esempi. Un abitante di Milano è milanese, ma nello stesso anche lombardo. Oppure un abitante di Torino è torinese, ma allo stesso tempo piemontese. Così il numero 6 è un numero naturale, perchè è uno di quei numeri che si usa naturalmente per contare e allo stesso tempo è un numero razionale perchè può essere espresso come un rapporto, cioè come risultato di una divisione, per esempio 12 : 2 (oppure come risultato della frazione dodici mezzi).

Facciamo un altro esempio: la frazione quattordici settimi equivale alla divisione:

14 : 7 = 2

e sappiamo che il numero 2 è un numero naturale, ma siccome può essere scritto come rapporto è anche un numero razionale.

Le frazioni e i numeri razionali

Abbiamo visto in un altro articolo come alcune frazioni (le frazioni apparenti) in realtà rappresentino un numero naturale.


Esistono i numeri non razionali?

Qualcuno di voi potrebbe chiedersi: esistono numeri che non sono il risultato di una divisione? La risposta è sì. 

Prima di andare avanti però è bene chiarire che le cose si fanno un po’ più complicate. Quindi se a te serviva solo sapere cosa sono i numeri razionali, puoi fermarti qui. Se sei curioso allora vai avanti e buona lettura.

Si chiamano numeri irrazionali. Un esempio di numero irrazionale è la radice quadrata di 2. Prova a calcolare con la calcolatrice presente sul tuo smartphone o sul tuo pc la radice di 2. Il risultato che troverai sarà simile a quello che leggi sotto.

In realtà quello che dà la calcolatrice non è il risultato esatto. Infatti la calcolatrice del mio pc è a 16 cifre, ma il risultato continua all’infinito, viene chiamato numero decimale illimitato non periodico. Non esiste nessuna frazione, nessuna divisione che dà come risultato la radice di 2. Per questo motivo, la radice di 2 è un numero irrazionale, ma non è l’unico. I numeri irrazionali saranno argomento di un altro articolo. Per il momento accontentiamoci di avere capito cosa sono i numeri razionali.


esercizi in pdf

Adesso se vuoi puoi metterti alla prova con alcuni esercizi che trovi nel file pdf subito sotto. Lavora con calma e non preoccuparti se sbagli. Sbagliando si impara. l’errore è la via che porta alla strada giusta.

  I numeri razionali – Esercizi.pdf

Buon lavoro.



Se hai dubbi o vuoi segnalare un errore puoi scrivere alla casella mail: matematica.facile@libero.it ; saremo grati ai lettori che segnaleranno eventuali errori presenti nell’articolo.