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Cos’è il rapporto in matematica

In questo articolo cercheremo di capire cos’è il rapporto in matematica. Niente paura, non è nulla di difficile. Mettiti comodo e vedrai che con 5 minuti di impegno e di buona volontà sarà tutto più chiaro.


indice


cosa si intende per rapporto

Cerchiamo di capire cosa si intende con la parola rapporto. In italiano questa parola ha almeno 4 significati diversi. Fortunatamente a noi interessa il suo significato in matematica. Dire rapporto in matematica è come dire divisione, in altre parole: rapporto e divisione hanno lo stesso significato.

Facciamo un esempio. Alle elementari abbiamo imparato che

12 : 6    →   è una divisione

Bene, ora che frequenti le medie (in realtà si dovrebbero chiamare “Scuole Secondarie di Primo Grado”, ma è più semplice chiamarle scuole medie) possiamo anche dire che

12 : 6   →  è un rapporto

Ma non abbiamo finito. Come ho già avuto modo di dirti, anche le frazioni sono divisioni, sono scritte in un modo diverso, ma sono divisioni. Quindi, anche una frazione, visto che è una divisione, può essere chiamata rapporto.

Riassumiamo i diversi modi di scrivere un rapporto in matematica.

il rapporto in matematica
  1.  Il primo metodo è quello che hai imparato alle scuole elementari, i due numeri da mettere in rapporto ( o da dividere) sono separati da due puntini. È usato anche nelle cartine geografiche (figure 1 e 2).
  2. Il secondo metodo lo hai imparato alle medie: la frazione. Scrivere tre quarti è la stessa cosa di scrivere 3 : 4. In questo caso, come vedremo, il rapporto si legge tre a quattro.
  3. L’ultimo metodo si usa quando si ha poco spazio per scrivere (figura 3) oppure quando si vuole scrivere una frazione usando un solo rigo. Quindi 3/4 si può leggere come tre quarti se ci serve come frazione oppure possiamo leggerlo come rapporto tre a quattro se ci serve come rapporto.

Dal punto di vista matematico, questi tre diversi modi di scrivere corrispondono sempre alla stessa divisione, cioè 3 : 4 = 0,75.

Cos'è il rapporto in matematica
Fig.1 – Evidenziato in rosso il rapporto di scala (spesso chiamato semplicemente scala) presente in tutte le cartine geografiche. Stralcio di carta geologica di Roma con rapporto di scala 1 : 50000 liberamente consultabile dal sito dell’ Istituto Superiore per la Protezione e la Ricerca Ambientale I.S.P.R.A. a questo link
Fig.2 – Stralcio di carta geologica di Milano con rapporto di scala 1 : 50000 liberamente consultabile dal sito dell’I.S.P.R.A.a questo link
Cos'è il rapporto in matematica
Fig.3 – Negli indicatori del livello di carburante delle auto e delle moto, lo spazio per scrivere è poco e le frazioni vengono scritte usando la barra o slash (leggi slesc). La frazione 2/4 indica che il serbatotio è a metà.

esempio 1: l’ Italia campione del mondo del 2006

A me il calcio non piace molto, preferisco altri sport. Seguo le partite solo quando ci sono i mondiali. Però il calcio ci dà la possibilità di fare un buon esempio per capire cos’è il rapporto in matematica. Ogni allenatore di una squadra nazionale, per giocare il mondiale convoca 23 giocatori che provengono da squadre diverse. Leggiamo la tabella sotto, in cui sono elencati i giocatori convocati dall’allenatore Marcello Lippi per il mondiale 2006. I giocatori sono incolonnati in base alla squadra in cui giocavano.

il rapporto in matematica

Bene, osserviamo con attenzione la tabella. Abbiamo detto che i giocatori convocati sono in totale 23. I giocatori del Palermo che facevano parte della nazionale erano 4: Zaccardo, Grosso, Barzagli e Barone. In questo caso si dice che il rapporto tra i giocatori del Palermo e quelli convocati è di

4 : 23 oppure 4/23

si può leggere 4 su 23 oppure 4 a 23.

Invece il rapporto tra i giocatori della Lazio e quelli convocati è  2 : 23 oppure 2/23.

Questo è un semplice esempio di matematica applicata al calcio.


esercizio 1

Ora osservando la tabella prova a rispondere a queste domande:

  1. Quali squadre avevano un rapporto di giocatori / convocati uguale a 5 / 23?
  2. Quali squadre avevano un rapporto di giocatori / convocati uguale a 6 / 23?
  3. Quali squadre avevano un rapporto di giocatori / convocati uguale a 1 / 23?

Trovi le risposte alla fine dell’articolo.


esempio 2: leonida e la battaglia delle termopili

Circa 2500 anni fa due potenti popoli erano in guerra: i Greci e i Persiani. L’esercito greco era guidato da Leonida, re di Sparta, che comandava un esercito di circa 14000 soldati. Invece l’esercito persiano era guidato da Serse, re di Persia e di Egitto, che comandava un esercito di circa 56000 soldati (i numeri sui soldati persiani variano molto a seconda delle fonti, alcuni affermano che l’esercito persiano fosse composto da 200 000 uomini, Erodoto addirittura scrive che i persiani erano più di 2 milioni).

Cos'è il rapporto in matematica

La battaglia si svolse in un luogo chiamato Termopili, a nord-ovset di Atene, che da allora è legato alla storia e alla leggenda di quella battaglia.

Immagine tratta da wikipedia, raggiungibile a questo link, in cui è visibile la posizione geografica del Passo delle Termopili dove si svolse l’omonima battaglia.

Cerchiamo di calcolare il rapporto tra soldati greci e soldati persiani.

Cos'è il rapporto in matematica

Usiamo una frazione e mettiamo al numeratore il numero di soldati greci e al denominatore il numero di soldati persiani.

Cos'è il rapporto in matematica

Bene, come in ogni frazione, dobbiamo cercare di ridurre ai minimi termini. Sia al numeratore che al denominatore abbiamo numeri con tre zeri, quindi possiamo dividere per 1000 sia il 14000 che il 56000.

il rapporto in matematica

Otteniamo la frazione quattrodici fratto cinquantasei. Continuiamo a ridurre, usando come fattore di riduzione 2, in altre parole dividiamo sia il numeratore che il denominatore per 2.

il rapporto in matematica

Abbiamo ottenuto la frazione sette ventottesimi. Adesso possiamo usare come fattore di riduzione 7.

Cos'è il rapporto in matematica

Bene, abbiamo ottenuto come risultato un quarto.

il rapporto in matematica

Questo vuol dire che per ogni soldato greco c’erano 4 soldati persiani, il rapporto era di uno a quattro, che può anche essere scritto così 1 : 4.


esempio 3

Come hai visto il concetto di rapporto si può applicare in molti campi della realtà: dal calcio alla storia. Facciamo un altro esempio per essere sicuri di avere capito cos’è il rapporto in matematica usando la geometria. Osserviamo la figura sotto.

La figura mostra un ottagono regolare

Cerchiamo di capire qual è il rapporto tra le parti gialle e la figura intera. Dobbiamo prima contare quante sono le parti colorate in giallo e poi contare quante sono le parti che compongono la figura intera.

  • Le parti gialle sono 2
  • Le parti che composngono la figura intera sono 8

Ragioniamo come nell’esempio precedente. Scriviamo una frazione che ha come numeratore il numero di parti colorate in giallo e come denominatore il numero totale delle parti. Riduciamo poi la frazione ai minimi termini.

il rapporto in matematica

Abbiamo trovato come risultato la frazione un quarto. Questo vuol dire che il rapporto tra le parti gialle e la figura intera è 1 : 4 che si può anche scrivere 1/4 e si legge uno a quattro.


esempio 4

Partendo sempre dalla stessa figura cerchiamo di capire in che rapporto sono le parti blu con quelle bianche. 

Quando si parla di rapporti il numero 1 al denominatore è importante e va scritto. Infatti quando si passa dalla frazione quattro mezzi alla frazione due fratto uno (usando come fattore di riduzione 2) conviene scrivere e lasciare scritto il denominatore anche se è 1. A me piace di più scrivere il rapporto non come frazione, ma usando la forma lineare, cioè quella con i due puntini, per esempio 2 : 1.


esercizio 2

Guardando sempre la figura di prima, cerca di stabilire:

  1. Qual è il rapporto tra le parti gialle e le parti blu.
  2. Qual è il rapporto tra le parti gialle e le parti bianche.
  3. Qual è il rapporto tra le parti bianche e le parti blu.

esercizi in pdf

Adesso puoi metterti alla prova con gli esercizi che trovi nel file pdf sotto. Leggi bene la consegna e non avere fretta di finire. Negli esercizi e nelle verifiche non vince chi arriva prima, vince chi sbaglia meno.

  Il rapporto – Esercizi.pdf


risposte

Esercizio 1
  1. Juventus e Milan
  2. Nessuna
  3. Inter, Livorno, Fiorentina e Udinese
Esercizio 2
  1. Gialle / blu → 1 : 2,, vuol dire che per ogni parte gialla ce ne sono 2 blu.
  2. Gialle / bianche → 1 : 1 , vuol dire che per ogni parte gialla ce n’è una bianca.
  3. Bianca / blu → 1 : 2 , vuol dire che per ogni parte bianca ce n’è 2 di colore blu.


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