Ridurre ai minimi termini una frazione

Cara mamma, oggi il tuo pargolo è tornato da scuola dicendo che la prof aveva spiegato un argomento che non aveva capito. Hai guardato nel diario e ti sei resa conto che oggi hanno spiegato come ridurre ai minimi termini una frazione. Argomento di cui tu non ricordi molto. Nessun problema, con dieci minuti di impegno sarà tutto più chiaro.


Indice

Breve ripasso sulle frazioni equivalenti

Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 4:   il fattore di riduzione


Breve ripasso sulle frazioni equivalenti

In un articolo precedente abbiamo parlato delle frazioni equivalenti e abbiamo visto come si può passare da una frazione a un’altra frazione equivalente. In questo articolo invece cercheremo di capire cosa voglia dire semplificare e ridurre ai minimi termini una frazione.

Se hai letto l’articolo sulle frazioni equivalenti avrai capito che se dividiamo il numeratore e il denominatore di una frazione per lo stesso numero naturale, otteniamo una frazione equivalente alla prima. Ripassiamo un poco prima di cominciare. Se non ti ricordi quali sono i numeri naturali, potresti andare a leggere il mio articolo.

Ridurre ai minimi termini

Dividiamo sia il 4 (numeratore) che il 6 (denominatore) per 2.

Ridurre ai minimi termini

Otteniamo una nuova frazione, due terzi, che è equivalente alla prima. La differenza è che al numeratore e al denominatore compaiono numeri più piccoli.

Per aiutarci a vedere che le due frazioni sono equivalenti possiamo aiutarci con dei modelli geometrici. Disegniamo su un foglio a quadretti (o una lavanga a quadretti) due rettangoli lunghi 12 quadretti. Dividiamo il primo rettangolo in 6 parti uguali e ne coloriamo 4. Dividiamo invece il secondo rettangolo in 3 parti uguali e ne coloriamo 2.

Se andiamo a contare i quadratini colorati vedremo che sono gli stessi sia nel primo, sia nel secondo rettangolo, ma le frazioni che rappresentino le parti colorate hanno numeri diversi.

Ridurre ai minimi termini

Bene, una volta che abbiamo ben chiaro cosa sono le frazioni equivalenti, possiamo iniziare a spiegare come si può ridurre ai minimi termini una frazione e per quale motivo è importante saperlo fare.

esempio 1

Scriviamo la frazione 24 su 36 e semplifichiamola.

Ti ricordo che semplificare vuol dire dividere il numeratore e il denominatore per lo stesso numero. Io scelgo di dividere per 2 (in questo caso era anche possibile dividere per 3 o per 4). Se non ricordi i criteri di divisibilità ti consiglio di andare a dare un’occhiata al mio articolo.

Il risultato che otteniamo è il seguente: dodici diciottesimi.

Ridurre ai minimi termini

A questo punto dobbiamo chiederci: “È ancora possibile semplificare? Cioè, è possibile dividere ancora numeratore e denominatore per lo stesso numero?” Nel nostro esempio la risposta è SI. Possiamo dividere per 2.

Ridurre ai minimi termini

La domanda che dobbiamo porci è sempre la stessa: “Posso semplificare ancora?” E la risposta è ancora SI. Infatti è possibile dividere sia il numeratore (6) che il denominatore (9) per 3.

Abbiamo ottenuto la frazione due terzi. Dobbiamo sempre chiederci: “È possibile continuare a semplificare?” Questa volta la risposta è NO. Non è più possibile semplificare. Non è più possibile dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero. Numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro, cioè hanno come unico divisore comune il numero 1.

Allora possiamo dire che la frazione 2 su 3 è una frazione ridotta ai minimi termini.

Ok, sono d’accordo. Potrà sembrarti un procedimento lungo, noioso e inutile. Ma quando ti troverai a eseguire una moltiplicazione tra frazioni, ti renderai conto che saper ridurre ai minimi termini è molto conveniente. È utile anche nelle divisioni tra frazioni.

In generale, in tutta la matematica pratica, è preferibile lavorare con numeri piccoli. Questo è vero in una classe di seconda media, come è vero nei laboratori della NASA. Ci sarà un motivo se è stata inventata la notazione esponenziale. (Il motivo è appunto lavorare e maneggiare numeri piccoli.)


esempio 2

Facciamo un altro esempio. Riduciamo ai minimi termini la frazione 30 su 42. Ricorda dobbiamo dividere per lo stesso numero sia il numeratore che il denominatore. Il denominatore è divisibile per 3 e anche il numeratore, quindi possiamo procedere con le divisioni. Se non ti ricordi i criteri di divisibilità sarebbe meglio andarli a ripassare.

Otteniamo il seguente risultato:

Quello che dobbiamo fare, è sempre chiederci se possiamo andare avanti con le semplificazioni. In questo caso possiamo dividere sia il numeratore che il denominatore per 2.

Molto bene, abbiamo ottenuto la frazione 5 su 7 (che si può anche leggere cinque settimi). Sia il 5 che il 7 sono numeri primi, questo ci aiuta a capire che non è più possibile andare avanti a semplificare. Cinque settimi è una frazione ridotta ai minimi termini.

Esercizio concluso.


esempio 3

Un piccolo trucco per accorgersi che non è più possibile semplificare, è rendersi conto se il numeratore o il denominatore sono numeri primi. È sufficiente che solo uno dei due sia un numero primo per dire che non si può più semplificare e poter affermare che una frazione è ridotta ai minimi termini. Ad esempio

Il 120 al denominatore è divisibile per 2, 3, 4, 5 e 10. Ma il numeratore 53 non è divisibile per nessuno di questi numeri, infatti è un numero primo. Dato che numeratore e denominatore non possono essere divisi per lo stesso numero (poichè il numeratore è un numero primo) allora la frazione è già ridotta ai minimi termini.

Esempio 4: il fattore di riduzione

Dopo aver fatto qualche esempio e aver capito come semplificare e ridurre ai minimi termini una frazione, ti sarai reso conto che disegnare quelle frecce è poco convenente perchè ci vuole molto tempo. Molti prima di te l’hanno pensata allo stesso modo e qualcuno si è inventato un modo veloce per scrivere quelle frecce. Vediamo qual è.

Ridurre ai minimi termini una frazione

Invece di scrivere quelle frecce enormi, si scrive un piccolo numero in alto a destra della frazione preceduto da una parentesi tonda, che viene chiamato fattore di riduzione. Quel numero vuol dire che dividiamo il numeratore e il denominatore per lo stesso numero naturale.

Abbiamo ottenuto la frazione 5 su 9. Come ti avevo già detto, se il numeratore (o il denominatore) è un numero primo, allora la frazione è ridotta ai minimi termini. Poichè 5 è un numero primo, allora possiamo dire che la frazione cinque noni (mi raccomando, non cinque alla nona) è ridotta ai minimi termini.

Ridurre ai minimi termini una frazione

Link utili

A questo link trovi e puoi scaricare le tavole numeriche come file pdf.

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