I criteri di divisibilità

I criteri di divisibilità

Oggi in classe la tua prof ha spiegato i criteri di divisibilità, ma tu non eri tanto attento. Dopo sei tornato a casa e hai provato a fare gli esercizi, ma non hai capito molto. Nessun problema, niente di difficile. Con 15 minuti di impegno, puoi rimediare alla distrazione di oggi.

Per sapere cosa si intende per divisibilità ti consiglio di dare una lettura al mio articolo in cui parlo di numeri primi e divisibilità.

A cosa servono i criteri di divisibilità

Forse ti sei chiesto a cosa servono e cosa sono questi criteri. Sono dei modi semplici e a volte anche divertenti per sapere se un numero è divisibile per un altro. Per esempio è possibile sapere se 591 è divisibile per 3 senza eseguire la divisione, ma con un calcolo molto più semplice e rapido che vedremo tra poco.

Tra le altre cose, questi criteri sono utili quando studierai la scomposizione in fattori primi, di cui io parlo in questo articolo, quando dovrai calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri, quando dovrai ridurre una frazione ai minimi termini e in molti altri argomenti. Quindi sarebbe consigliabile conoscerli bene.

Ma cominciamo a vedere quali sono e come funzionano i criteri.

Criterio di divisibilità per 2

Mentre in classe la tua prof spiegava la divisibiltà per 2, tu pensavi ad altro e non sei riuscito a capire come funziona questo criterio. Niente paura. Niente di complicato. Per sapere se un numero è divisibile per 2 è sufficiente sapere se è pari o dispari. Come dici? Non ti ricordi quali sono i numeri pari? Anche questo è molto semplice. I numeri pari sono i numeri multipli di 2, compreso lo zero:

Detta in modo diverso, i numeri pari sono quelli che formano la tabellina del 2.

Se un numero è pari, allora è divisibile per 2. Tutto qua.

Quindi, per essere sicuri di avere capito, prendi carta e penna e riscrivi i numeri che trovi sotto e facciamo un semplice esercizio:

Ora cerchia i numeri divisibili per 2 oppure detto in modo diverso cerchia i numeri pari. Se hai fatto bene hai ottenuto un risultato simile a quello che trovi sotto.

Criterio di divisibilità per 3

Vediamo adesso un modo facile per capire se un qualsiasi numero è divisibile per 3. Facciamo un esempio, vogliamo stabilire se 7854 è divisibile per 3. Per il momento l’unico modo che conosciamo è quello di eseguire la divisione 7854:3

È una divisione lunga da svolgere. Stai forse pensando che potresti usare la calcolatrice, ma in classe non puoi di certo usarla. Per fortuna il criterio di divisibilità ci aiuta.

Per capire se 7854 è divisibile per 3 dobbiamo sommare le cifre di cui è composto il numero e vedere se il risultato è un multiplo di 3. Come spesso succede con la matematica, è meglio spiegare gli argomenti con un esempio numerico.

Sommare le cifre che formano 7854 vuol dire eseguire questa somma

7 + 8 + 5 + 4 = 24

Abbiamo ottenuto come risultato 24. Ora dobbiamo chiederci: 24 è un multiplo di 3? Dobbiamo ricordarci la tabellina del 3. Ed ecco la risposta. 24 è un multiplo di 3, infatti 3 x 8 = 24. Questo vuol dire che 7854 è divisibile per 3. Chiaro? Forse si e forse no. Facciamo altri esempi? Meglio.

Esempi di divisibilità per 3

Esempio 1

Stabiliamo se il numero 582 è divisibile per 3. Dobbiamo sommare le cifre che lo formano.

5 + 8 + 2 = 15

Abbiamo ottenuto come risultato 15. La domanda che porci ora è: 15 è multiplo di 3? Ripassiamo la tabellina del 3 ed ecco la risposta. 3 x 5 = 15, allora è multiplo di 3. Questo ci dice che 582 è divisibile per 3.

Ti stai di nuovo chiedendo a cosa servono i criteri di divisibilità? Non ne vedi l’utilità? Ti accorgerai di quanto sono utili quando studierai la scomposizione in fattori primi che io spiego in questo articolo.

Esempio 2

Continuiamo con gli esempi. Stabiliamo se 801 è divisibile per 3.

Sommiamo le cifre che compongono il numero 801.

8 + 0 + 1 = 9

Dobbiamo chiederci se 9 è multiplo di 3. La risposta è si, infatti 3 x 3 = 9. Allora 801 è divisibile per 3.

Esempio 3

Cerchiamo di capire se 457 è divisibile per 3.

4 + 5 + 7 = 16

Il risultato della somma è 16. Dobbiamo chiederci: 16 è un multiplo di 3? Oppure detta in un altro modo: 16 è divisibile per 3? La risposta è ‘No‘. Questo vuol dire che il numero 457 non è divisibile per 3.

Vedi come senza eseguire nessuna divisione riusciamo a capire se un numero qualsiasi è divisibile per 3 oppure no. E ci riusciamo con una semplice somma. Un ultimo esempio

Esempio 4

Ci chiediamo se 6794 è divisibile per 3. Sommiamo le cifre che lo compongono.

6 + 7 + 9 + 4 = 26

Ora dobbiamo stabilire se 26 è multiplo di 3 ( o divisibile per 3, che è la stessa cosa). Se non ti ricordi la tabellina, puoi ripetere con il 26 lo stesso procedimento usato per il 6794, cioè sommiamo le cifre di che formano il 26

2 + 6 = 8

Il numero 8 non è divisibile per 3, questo vuol dire che 6794 non è divisibile per 3.

Criterio di divisibilità per 5

Passiamo adesso a studiare quello che ritengo sia il più semplice tra i criteri di divisibilità, quello per 5.

La regola è questa: ‘Un numero è divisibile per 5 se finisce per 0 oppure per 5‘. Tutto qua, finito. Facciamo un esercizio per capire meglio la regola. Prendi carta e penna e riscrivi i numeri qui sotto.

Esempio 1

Adesso fai un cerchio in quei numeri che finiscono con 5 oppure con 0. Se hai lavorato bene hai ottenuto il risultato che vedi sotto.

Esempio 2

Solo per essere proprio certi di avere capito, facciamo un altro esempio.

Dobbiamo trovare i numeri divisibili per 5. Ricordiamoci che sono divisibili per 5 tutti quei numeri in cui l’ultima cifra è 5 oppure 0. Andiamo quindi a tracciare un piccolo cerchio nei numeri che ci interessano.

Criterio di divisibilità per 10

Se il criterio di divisibilità per 5 ti è sembrato facile, allora quello per 10 ti sembrerà semplicissimo.

La regola dice questo: ‘Un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0‘. Tutto qua. Non ti sembra vero? Troppo facile? È in effetti facilissimo, ma è così. Facciamo un esempio:

Esempio 1

Ricorda: l’ultima cifra deve essere zero.

Altri criteri di divisibilità

Esistono anche altri criteri di divisibilità (per 4, per 7, per 9), ma per quello che di solito si studia alle scuole medie, è sufficiente conoscere bene quelli che hai appena letto.

link utili

A questo link della Casa Editrice Zanichelli trovi le Tavole Numeriche. Puoi semplicemente visualizzarle oppure anche scaricarle sotto forma di file pdf facendo click sull’icona che trovi in alto a destra del documento.