La scomposizione in fattori primi

Oggi pomeriggio hai provato a fare gli esercizi che aveva assegnato la tua insegnante, ma adesso non sai da dove cominciare. Niente paura, con un po’ di impegno imparerari come si esegue la scomposizione in fattori primi.

Però prima di cominciare è necessario ricordarsi bene che differenza c’è tra numeri primi e numeri composti. In questo momento la differenza non è tanto chiara? Allora ti consiglio di leggere il mio articolo che ti aiuterà a ricordare.

Se hai già capito bene la scomposizione e vuoi solo dare ad alcuni esercizi svolti puoi dare un’ occhiata al mio articolo.

Riassumendo, possiamo dire che tutti i numeri possono essere raggruppati all’interno di due grandi recinti: quello dei numeri primi e quello dei numeri composti.

Numeri primi e numeri composti

Questi recinti in matematica si chiamano Insiemi. Nella figura non sono scritti tutti i numeri primi, ma solo alcuni, come esempio. Lo stesso vale per i numeri composti.

Cosa vuol dire ‘scomposizione in fattori primi’

Cominciamo a fare sul serio e cerchiamo di capire cosa vuol dire ‘scomposizione in fattori primi’. Facciamo un po’ di attenzione alle parole:

Scomposizione : scomporre vuol dire dividere qualcosa negli elementi che la costituiscono. Facciamo un esempio. Supponiamo di voler scomporre un piatto di piatto al pomodoro nei suoi ingredienti. Otterremo la pasta da una parte e i pomodori dall’altra parte. Facciamo un altro esempio. Osserviamo la figura sotto.

Dall' intero alla scomposizione

Scomponiamola negli elementi che la compongono. Otterremo i singoli rettangoli, come puoi vedere sotto.

Dall' intero alla scomposizione

Fattori : i fattori in matematica sono gli elementi della moltiplicazione. Per esempio nella moltiplicazione

2 x 5 = 10

I numeri 2 e 5 sono i fattori e 10 è il prodotto.

Oppure ancora, nella motiplicazione

3 x 7 = 21

i fattori sono il numero 3 e il numero 7. Invece il numero 10 è chiamato prodotto della moltiplicazione o semplicemente prodotto.

Primi : in questo caso primi vuol dire che i fattori di cui parlavamo sopra devono essere numeri primi.

Se vuoi ripassare il concetto di numeri primi puoi leggere il mio aticolo i numeri primi e i numeri composti.

Procedimento per eseguire la scomposizione in fattori primi

Per eseguire la scomposizione in fattori primi di un numero si può procedere in diversi modi. Di seguito ti mostrerò i due modi che vengono usati più spesso: la scomposizione in colonna e la scomposizione ad albero. Vedrai che i due metodi sono uguali nel procedimento, ma diversi nella rappresentazione. Cominciamo con il fare degli esempi e capirai subito le differenze.


Esempio 1

Esempio 2

Esempio 3

Esempio 4

Esempio 5

Esempio 6

Esempio 7

Esempio 8

Esempio 9


Esempio 1: scomposizione in fattori primi del numero 6

Scomponiamo in fattori primi il numero 6 usando entrambi i metodi, prima quello in colonna e poi quello ad albero.

Scomposizione del numero 6 in colonna

Vediamo come si procede. È più difficile spiegarlo che farlo nella pratica.

Si inizia scrivendo il numero 6 e tracciando una riga verticale accanto al numero.

Scomposizione del 6

Ora dobbiamo cominciare a scomporre il 6. Per fare ciò lo dobbiamo dividere. Ma per quale numero? Dobbiamo scegliere un numero primo, ma quale? Non c’è una regola fissa. Io preferisco partire sempre dividendo per 2 (che è il primo tra i numeri primi) se il numero da scomporre è pari, come in questo caso.

Dall’ altra parte della riga, quindi, scriveremo 2.

Scomposizione del 6

Il numero 2 nel nostro esempio è il primo fattore di scomposizione.

Ora bisogna fare la divisione :

6 : 2

e scrivere il risultato della divisione sotto il 6. Naturalmente il risultato è 3.

Dobbiamo procedere con le divisioni fino a quando il risultato che otterremo non sarà 1. Nel nostro esempio dobbiamo dividere il numero 3. Non possiamo dividerlo per 2.

L’unico numero primo per cui possiamo dividere il 3, è se stesso (poichè 3 è un numero primo). Quindi scriveremo così:

Eseguiamo la divisione

3 : 3

che ci dà come risultato 1. Andremo a scrivere uno nella stessa colonna del 6 e del 3. Abbiamo finito.

Scomposizione in fattori primi del 6

I fattori primi in cui viene scomposto il 6 sono 2 e 3 (li trovi nella colonna di destra). Oppure detta in un altro modo: i fattori primi che compongono il 6 sono: il 2 e il 3 che abbiamo scritto nella colonna di destra.

6 = 2 x 3 che è il risultato che stavamo cercando.

Chiaro? Meglio fare un altro esempio con altri numeri.


 

Esempio 2: scomposizione in fattori primi del numero 36 in colonna

Cominciamo come sempre con scrivere il 36 e tracciamo una riga alla destra del numero.

36 è un numero pari, quindi si può dividere per 2. Scriveremo il 2 a destra della riga.

Ora dobbiamo eseguire la divisione 36 : 2 e scrivere il risultato ottenuto sotto il 36. Non abbiate premura nel fare i calcoli. È naturale nei primi esercizi essere un po’ lenti e insicuri. Esercitarsi serve proprio a questo. La pratica ti porterà a essere più veloce e a sbagliare sempre meno.

Ora dobbiamo dividere il 18, poichè è un numero pari, possiamo dividerlo per 2. Scriveremo un altro 2 a fianco del 18.

Scomposizione del 36

Eseguiamo la divisione 18 : 2 e scriviamo il risultato sotto il 18. Come vedi il procedimento è ripetitivo. Capito il meccanismo, poi diventa più agevole.

Si cotinua sempre nello stesso modo, cioè dobbiamo dividere il 9 per un numero primo. L’unico numero primo per cui possiamo dividerlo è il 3. Scriveremo allora 3 nella colonna di destra, sotto il 2.

Scomposizione in fattori primi del 36

Eseguiamo la divisione 9 : 3 e scriviamo il risultato sotto il 9.

Scomposizione in fattori primi del 36

Dobbiamo ora dividere il 3. L’unico numero primo per cui lo possiamo dividere è se stesso, cioè dobbiamo fare la divisione 3 : 3. Poi scriviamo il risultato nella colonna di sinistra.

Scomposizione in fattori primi del 36

Allunghiamo la riga se necessario. Abbiamo ottenuto come risultato 1. Abbiamo finito con le divisioni.

Nella colonna di destra possiamo leggere i fattori di scomposizione del numero 36. Devono essere tutti numeri primi. Se così non fosse vuol dire che abbiamo sbagliato da qualche parte.

Scelta dei fattori primi

Stiamo arrivando alla conclusione dell’esercizio. Scriviamo il numero 36 come prodotto dei suoi fattori di scomposizione.

36 = 2 x 2 x 3 x 3

Ma avrai studiato sicuramente le potenze. La potenza ci permette di scrivere una moltiplicazione come quella di sopra in modo più sintetico, più breve.

36 = 22 x 32

Questo è il risultato che stavamo cercando.

Quella che hai appena letto si chiama scrittura esponenziale ed è il modo corretto di scrivere una scomposizione.

Non ti preoccupare se per i primi esercizi ti sembra di impegare troppo tempo. Abbiamo cominciato tutti così. Poi con l’allenamento ed esercitandoti tutto diventerà più semplice, ma solo dopo un buon numero di esercizi. Cosa credi che Cristiano Ronaldo non si alleni? Ti sbagli, anzi è il primo ad arrivare e l’ultimo ad andarsene e quasto vale per tutti i veri professionisti.

Procedimento scorretto

Vediamo ora un errore abbastanza comune che si può commettere quando si scompone in fattori primi.

Scomponiamo sempre il numero 36.

Iniziamo con le divisioni. Ricordandomi della tabellina del 6, decido di dividere il 36 per 6.

Infatti 6 x 6 = 36.

Anche se matematicamente è corretto dire che il 36 è divisibile per 6, nella scomposizione in fattori primi questo modo di procedere è sbagliato.

Scomposizione in fattori primi del 36 con errore

Infatti nella colonna di destra possiamo scrivere solo numeri primi. E il 6 non è un numero primo. Per questo motivo il procedimento che abbiamo seguito in questo esempio è errato.

Procedimento alternativo

Come ti ho già deto non esiste una regola fissa nello scegliere il numero per cui dividere. Quando abbiamo scomposto il 36 abbiamo iniziato dividendo per 2. Ma nessuno mi vieta di dividere per 3. Vediamo cosa succede.

Scomposizione in fattori primi del 36

Dividendo per 3 otteniamo questo risultato. Scriviamo in modo esponenziale i fattori di scomposizione eseguendo tutti i passaggi.

Scelta dei fattori primi

36 = 3 x 3 x 2 x 2 che diventa 36 = 32 x 22

È lo stesso risultato a cui siamo arrivati con il primo procedimento. Infatti ti ricordo che la moltiplicazione gode della proprietà commutativa, cioè cambiando l’ordine dei fattori il risultato non cambia. Possiamo quindi scrivere

36 = 22 x 32

Questo è il modo che preferisco, cioè a scrivere i fattori iniziando da quello con la base più piccola (nel nostro esempio il 2).

Esempio 3: scomposizione in fattori primi del 60

Procediamo con qualche altro esempio numerico.

Scomponiamo il numero 60. È un numero pari, quindi possiamo dividerlo per 2.

Scriviamo il 2 nella colonna di destra.

E il risultato della divisione nella colonna di sinistra sotto il 60.

Procediamo con le divisioni. Ti ricordo: possiamo dividere solo usando numeri primi.

Anche 30 è un numero pari e quindi divisibile per 2.

Otteniamo come risultato 15, che non è pari. Quindi dovremo cercare un altro divisore.

15 è divisibile per 3.

Il passaggio successivo è questo.

Scomposizione in fattori primi del 60

Abbiamo finito di scomporre. Ora scriviamo il 60 come prodotto di fattori primi, usando la scrittura esponenziale.

Scelta dei fattori primi

60 = 22 x 3 x 5

Questo è il risultato che stavamo cercando.

Esempio 3. Procedimento alternativo

Naturalmente quello che abbiamo visto non è l’unico procedimento possibile. Di seguito vedi illustrato un altra strada possibile che è comunque giusta.

Scomposizione in fattori primi del 60

Nella colonna di destra sono presenti solo numeri primi ed è quello che vogliamo.

Il risultato della scomposizione è lo stesso.

60 = 3 x 5 x 22

Che usando la proprietà commutativa della moltiplicazione possiamo scrivere in questo modo.

60 = 22 x 3 x 5

Lo stesso risultato trovato usando il primo procedimento.

Sono due strade diverse, ma entrambe giuste che portano allo stesso risultato corretto.

Esempio 4: scomposizione in fattori primi del 66

Scomponiamo il numero 66.

Scomposizione in fattori primi del 66

Scriviamo ora il numero 66 come prodotto di fattori primi.

66 = 2 x 3 x 11.

Questo è il risultato che stavamo cercando.

Esempio 5

Scomponiamo il numero 126. Prima prova da solo. Poi controlla se quello che hai ottenuto corrisponde a quello che leggi sotto.

Scomposizione in fattori primi del 126

Scriviamo il 126 come prodotto di fattori primi usando la scrittura esponenziale.

126 = 2 x 32 x 7

Questo è il risultato che stavamo cercando.

Esempio 6

Scomponiamo il numero 84. Prova tu. Poi controlla il risultato che hai ottenuto con quello che puoi leggere sotto.

Scomposizione in fattori primi dell' 84

Scriviamo il numero 84 come prodotto della scomposizione in fattori primi, usando la scrittura esponenziale.

84 = 22 x 3 x 7

Questo è il risultato che stavamo cercando.


Scomposizione ad albero

Cominciamo ora a vedere come funziona la scomposizione ad albero.

Esempio 7: scomposizione ad albero del numero 36

Scomponiamo il numero 36. Possiamo dividerlo per 2, ma ricorda non c’è una regola precisa. Puoi scegliere di dividerlo per 3 o per 4. L’ importante è eseguire correttamente le divisioni.

Dividiamo quindi per 2. Scriveremo in questo modo: il due a sinistra sotto il 36 e il risultato della divisione a destra.

Il numero due è un numero primo e lo evidenziamo con un cerchio, io preferisco il colore blu, ma tu puoi scegliere un colore qualsiasi. Se non ti ricordi cosa sono i numeri primi puoi dare un’ occhiata al mio articolo i numeri primi e i numeri composti.

Il numero 18 invece è un numero composto, quindi dobbiamo continuare a dividere. Non c’è una regola precisa per scegliere il numero per cui dividere. Se il numero è pari, io preferisco dividere per 2. Scriveremo, come abbiamo fatto prima, il 2 a sinistra sotto il 18; invece il risultato della divisione sotto il 18, ma a destra: in questo modo.

Procediamo come sopra. Il numero 2 è un numero primo e lo cerchiamo. Il 9 è un numero composto e lo dividiamo.

Il numero 9 non è un numero pari, non possiamo dividerlo per 2, ma possiamo dividerlo per 3. Scriveremo il risultato della divisione sotto il 9, a destra.

Scriveremo in questo modo.

Scomposizione in fattori primi del 36

Come risultato della divisione otteniamo 3.

Il numero 3 è un numero primo, quindi dobbiamo cerchiarlo. Ricorda, vanno cerchiati solo i numeri primi. Andremo a tracciare un cerchio sopra tutti e due i 3.

Scriveremo così:

Scomposizione in fattori primi del 36

Non possiamo più procedere con le divisioni, questo vuol dire che abbiamo terminato con la scomposizione.

Non ci resta che scrivere il 36 come prodotto di fattori primi:

36 = 2 x 2 x 3 x 3

È più corretto usiare la scrittura esponenziale:

36 = 22 x 32

Questo è il risultato che stavamo cercando. Se ci hai fatto caso è uguale al risultato che abbiamo trovato con la scomposizione in colonna. Sono due strade diverse, ma entrambe corrette per arrivare allo stesso risultato.

Esempio 8: scomposizione ad albero del numero 36, metodo alternativo

Come ti ho già detto, quando devi scegliere il numero per cui vuoi dividere, non esiste una regola. Io preferisco dividere per 2, ma la tua prof probabilmente preferisce un altro numero. Sono comunque due strade corrette.

Faremo ora un esempio sempre con il numeo 36, in cui però seguiremo una strada diversa.

Iniziamo subito e invece di dividere per 2 come nell’esempio di prima, dividiamo il 36 per 6.

Scriveremo allora il 6 sotto il 36 a sinistra.

Invece scriveremo il risultato della divisione a destra, in questo modo.

Bisogna ora fare attenzione. Ricordiamoci che noi vogliamo ottenere la scomposizione in fattori primi del numero 36.

Il numero 6 non è un numero primo, quindi non tracceremo nessun cerchio. Invece quello che dobbiamo fare è continuare a dividere. Li dobbiamo dividere entrambi. Io scelgo di dividere per 2.

Scomposizione in fattori primi del 36

Scelta dei fattori primi

Possiamo ora andare a tracciare un cerchio nei numeri primi che abbiamo ottenuto come risultato.

Scomposizione in fattori primi del 36

Come risultati delle divisioni abbiamo ottenuto tutti numeri primi.

Abbiamo quasi concluso l’esercizio, non ci rimane che scrivere in forma esponenziale il 36.

36 = 22 x 32

Ricordati, non ti preoccupare se per i primi esercizi ti sembra di impegare troppo tempo o se ti sembrano complicati. Abbiamo cominciato tutti così. Poi con l’allenamento ed esercitandoti, tutto diventerà più semplice, ma solo dopo un buon numero di esercizi.

Esempio 9

Continuiamo con gli esempi numerici e scomponiamo il numero 150. Dobbiamo scegliere per quale numero dividerlo. So di averti detto che preferisco dividere per 2, ma in questo caso c’è una strada più veloce che ti indicherò tra poco.

Se ti ricordi, quando hai studiato i criteri di divisibilità c’era anche quello del 10, che era forse il più semplice: un numero è divisibile per 10 se termina per zero. È proprio il nostro caso, infatti l’ultima cifra del numero 150 è zero, questo vuol dire che è divisibile per 10.

Allora potremo scrivere il 10 sotto il 150 a sinistra e il risultato della divisione, sotto il 150 a destra, in questo modo.

Ricorda, dobbiamo tracciare un cerchio solo nei numeri primi. Nè il 10, nè il 15 sono numeri primi, quindi dobbiamo procedere dividendo entrambi.

Io scelgo di dividere il 10 per 2. E divido il 15 per 3. Scriverò in questo modo.

Bene, abbiamo eseguito le divisioni e abbiamo ottenuti come risultato tutti numeri primi (2, 3, 5) possiamo quindi cerchiarli.

Scomposizione in fattori primi del 150

Abbiamo ottenuto i fattori di scomposizione del 150. Scriviamo allora il numero 150 come prodotto dei suoi fattori primi.

150 = 2 x 3 x 52

Questo è il risultato che stavamo cercando.

link utili

A questo link della Casa Editrice Zanichelli trovi le Tavole Numeriche. Puoi semplicemente visualizzarle oppure anche scaricarle sotto forma di file pdf facendo click sull’icona che trovi in alto a destra del documento.

Precedente I numeri primi e i numeri composti Successivo Scomposizione in fattori primi: esercizi svolti