Fattore di riduzione e fattore di espansione

In classe oggi hai sentito parlare di fattore di riduzione e fattore di espansione. Ti è sembrato di capire che c’entrano qualcosa le frazioni, ma eri un po’ distratto e non sei riuscito a capirci molto. Quando poi sei tornato a casa e hai provato a fare gli esercizi ti sei trovato in alto mare. Niente paura, con 15 minuti di impegno, fattore di riduzione e fattore di espansione non saranno più parole senza senso.

Quando si usano il fattore di riduzione e il fattore di espansione

Il fattore di riduzione e il fattore di espansione si studiano quando si vogliono ottenere frazioni equivalenti a partire da altre frazioni. Oppure, il fattore di riduzione è usato quando si vuole ridurre ai minimi termini una frazione o quando si esegue una moltiplicazione tra frazioni o quando si moltiplica un numero naturale per una frazione.


 

Esempio 1

Nell’articolo in cui parlavo delle frazioni equivalenti puoi leggere che per passare da una frazione ad un’altra frazione equivalente (cioè che ha lo stesso valore) si devono moltiplicare (o dividere) il numeratore e il denominatore della frazione per lo stesso numero naturale. Un esempio è il seguente:

Dopo avere preso un po’ di pratica e avere fatto un paio di esercizi, ti rendi conto che scrivere quelle frecce è un procedimento lungo e che fa perdere tempo.

Per risparmiare tempo e scrivere tutto in modo più sintetico (il linguaggio matematico è sempre sintetico, cioè si scrive il meno possibile) qualcuno ha inventato il fattore di riduzione. Andiamo a vedere come si scrive.

Fattore di riduzione

Il fattore di riduzione si scrive in alto a destra della frazione e va preceduto da una parentesi tonda. Il fattore di riduzione indica che sia il numeratore, sia il denominatore vanno divisi per il numero indicato dal fattore. Nel nostro caso si devono dividere il 12 (numeratore) e il 15 (denominatore) per 3.


Esempio 2: riduzione ai minimi termini

Supponiamo di dover ridurre ai minimi termini la frazione 36 su 48.

Dobbiamo dividere sia il numeratore, sia il denominatore per 2 (il numero indicato nel fattore di riduzione).

Fattore di riduzione

Ricordiamoci che il nostro scopo è ridurre la frazione di partenza ai minimi termini, per cui ancora non abbiamo finito. Dobbiamo continuare a semplificare.

Fattore di riduzione

La frazione nove dodicesimi non è ancora ridotta ai minimi termini. Per cui continuiamo a dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero naturale.

Bisogna fare attenzione a scegliere il fattore di riduzione appropriato, infatti dobbiamo dividere sia il numeratore, sia il denominatore per lo stesso numero.

Abbiamo ottenuto la frazione 3 su 4, che si può leggere anche tre quarti. Questa frazione è ridotta ai minimi termini. Abbiamo concluso l’esercizio.

Avremmo anche potuto prima semplificare per 3 e poi per 2. Non sarebbe cambiato nulla. Sono due strade diverse per arrivare allo stesso risultato.


Esempio 3: fattore di espansione

Per ottenere una frazione equivalente a partire da un’altra frazione, possiamo dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero naturale. Oppure possiamo anche moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso numero naturale. In questo caso otterremo una frazione che ha numeri più grandi rispetto a quella di partenza. Vediamo un esempio:

Il fattore di espansione si scrive in alto a sinistra della frazione, seguito da una parentesi tonda. Il fattore di espansione indica che sia il numeratore che il denominatore vanno moltiplicati per 2.

Naturalmente è possibile continuare a moltiplicare il numeratore e il denominatore. In altre parole possiamo continuare a espandere, cioè a ottenere numeri più grandi al numeratore e al denominatore. Moltiplichiamo di nuovo per 2. Scriviamo di nuovo il fattore di espansione.

Procediamo con le moltiplicazioni e vediamo cosa otteniamo.

Abbiamo ottenuto la frazione 12 su 32 (che si può anche leggere dodici trentaduesimi) che è una frazione equivalente a quella di partenza tre ottavi. Se non ci credi puoi verificare facendo i calcoli con la calcolatrice. Ricorda che una frazione è solo una divisione scritta in modo diverso. Puoi allora fare le seguenti operazioni:

3 : 8 = 0.375 e 12 : 32 = 0.375

Le due divisioni danno lo stesso risultato, quindi le due frazioni sono equivalenti. Il fattore di espansione è stato usato in modo corretto.

link utili

A questo link trovi le tavole numeriche che puoi consultare o scaricare liberamente come file pdf.

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