Cara mamma, oggi tua figlia è tornata a casa e ti ha chiesto se potevi aiutarla con gli esercizi di matematica. La prof aveva spiegato come si approssimano i numeri decimali. Tu credi di ricordare quale procedimento si deve seguire, ma per evitare di sbagliare hai cercato su internet e sei finita qui. Sei nel posto giusto. In 5 minuti il procedimento di approssimazione ti sarà chiaro.
Indice
- Cosa vuol dire approssimare
- Esempio 1
- I simboli di approssimazione
- Esempio 2
- Esempio 3
- Esempio 4
- Esempio 5
- Esempio 6
- Esempio 7
- Esempio 8
- Esercizi 1
- Esercizi 2Approssimazione
- Risultati
Cosa vuol dire approssimare
Prima di cominciare con gli esempi numerici è meglio spiegare cosa si intende per approssimazione. Approssimare un numero vuol dire sostituirlo con un altro che è meno preciso del primo, ma che risulta più comodo.
Per esempio per Natale un possibile regalo è una console per giocare a Minecraft. Hai controllato il prezzo e hai visto che costa 399,99 €. Questo numero si può approssimare dicendo che la console costa circa 400 €, evitando di dire anche i centesimi.
399,99 € ≈ 400 €
400 € non è il suo prezzo reale. Il prezzo reale è 399,99 €. Ma in pratica la console costa 400 €. Il primo prezzo è più preciso, più accurato, ma nella realtà delle cose si andranno a spendere 400€ (un centesimo fa poca differenza 🙂).
Approssimare i numeri decimali
Esempio 1
Cerchiamo di capire come si approssimano i numeri decimali. Facciamo un esempio. Tre amici: Eleonora, Andrea e Ilenia decidono di preparare le crepes per la festa della scuola.
Vanno a fare la spesa e ognuno di loro mette 5 €. Quindi hanno in totale 15 €. Comprano tutti gli ingredienti e spendono 10,37. La cassiera dà loro 4,63 € di resto.
Devono dividersi il resto in parti uguali. Ilenia prende la calcolatrice ed esegue la divisione:
4,63 : 3 = 1,543333333333333
Il numero ottenuto da Ilenia ha un sacco di cifre decimali (in realtà sono illimitate), ma le monete dell’euro arrivano ai centesimi. Quindi si trovano a dover arrotondare il risultato dato dalla calcolatrice ai centesimi.
1,543333333333333 ≈ 1,54
Ognuno di loro avrà come resto 1,54 centesimi di euro. Cerchiamo di capire come si arriva a questo risultato.
Il simbolo ≈ si legge approssimato oppure circa uguale oppure quasi uguale ed è uno dei simboli che viene usato quando si approssima, gli altri simboli sono: (∼) oppure (≅) quindi uno vale l’altro. Io ti consiglio di usare quello che usa la tua prof.
Il simbolo ≅ in Italia e nel mondo
In Italia il simbolo ≅ è usato a volte per indicare la congruenza geometrica, cioè per indicare che due poligoni o due angoli sono congruenti, cioè sovrapponibili, in parole povere uguali (ma alcuni prof a queste definizioni ci tengono). Questo uso può generare confusione, infatti a livello internazionale invece il simbolo ≅ vuol dire “approximately equal to”, che tradotto sarebbe “approssimativamente uguale a“. Ti ripeto, il mio consiglio è di usare la simbologia che usa la tua prof, però è bello sapere quali simboli si usano anche fuori dall’Italia.
Esempio 2
Supponiamo di dover arrotondare il numero 7,2813. Non possiamo cominciare a svolgere l’esercizio perchè ci serve un’altra informazione. Dobbiamo sapere se lo dobbiamo arrotondare ai decimi, ai centesimi oppure ai millesimi.
Supponiamo di volere approssimare ai centesimi.
La prima cosa da fare è tracciare una linea subito dopo la cifra che indica i centesimi, nel nostro caso l’8.
Adesso bisogna guardare la prima cifra dopo la linea che abbiamo tracciato. Dobbiamo guardare solo la prima cifra dopo la linea. Nel nostro caso dopo la linea c’è il numero 1.
La regola dice che:
Se la prima cifra che segue l’ordine di grandezza a cui vogliamo approssimare (la linea verde) è compresa tra 0 e 4 allora tutte le cifre che seguono la linea si eliminano e
Le cifre prima della linea invece si riscrivono.
Per cui il risultato che stavamo cercando è:
7,2813 ≅ 7,28 approssimato ai centesimi
Approssimare ai centesimi vuol dire che l’ultima cifra che troviamo nel numero approssimato saranno proprio i centesimi. Questo tipo di approssimazione si chiama per difetto perchè il numero approssimato è più piccolo el numero di partenza.
7,28 < 7,2813
È normale se all’inizio le cose ti sembrano complicate. Non arrenderti. Abbiamo cominciato tutti così.
Andiamo avanti con un altro esempio.
Esempio 3
Un altro esempio per capire come si approssimano i numeri decimali. Approssiamo sempre 7,2813, però questa volta ai decimi. La prima cosa da fare è tracciare una linea dopo la cifra che rappresenta i decimi. Nel nostro caso i decimi sono rappresentati dal numero 2. Allora tracciamo una linea dopo il 2.
Guardiamo solo la prima cifra dopo la linea. Abbiamo il numero 8.
La regola dice che
Se il numero che segue la linea è compreso tra 5 e 9, i numeri dopo la linea non si scrivono e il numero prima della linea va aumentato di 1.
Otteniamo quindi 7,3
Questo tipo di approssimazione è chiamata approssimazione per eccesso perchè il numero che otteniamo è più grande del numero da cui siamo partiti.
7,3 > 7,2813
Esempio 4
Continuiamo a fare alcuni esempi per capire come si approssimano i numeri decimali. Possiamo aiutarci con un orologio un po’ particolare, in cui non ci sono lancette e al posto delle ore si trovano i numeri da 0 a 9.
Approssimiamo ai decimi il numero 5,2197
Nel numero alla lavagna, i decimi sono rappresentati dal numero 2. Quindi tracciamo una linea subito dopo il numero 2.
Adesso guardiamo solo la prima cifra dopo la linea. È il numero 1.
È qui la chiave di tutto. Quello che decide l’approssimazione è la prima cifra dopo la linea che abbiamo tracciato. Se andiamo a riguardare il nostro particolare orologio vediamo che se abbiamo il numero 1 dobbiamo approssimare per difetto, questo vuol dire che tutti i numeri dopo la linea non si scrivono e quelli prima della linea si riscrivono così come sono.
Esercizio concluso.
Esempio 5
Ancora un esmepio. Approssimiamo il numero 27,1835 ai decimi.
Tracciamo una linea dopo i decimi.
Guardiamo quale cifra c’è dopo la linea che abbiamo tracciato.
C’è il numero 8. Si decide tutto qua. Andiamo a guardare l’orologio delle approssimazioni.
Dato che abbiamo il numero 8, dobbiamo approssimare per eccesso. Questo vuol dire che non scriviamo i numeri dopo la linea e la cifra prima della linea va aumentata di 1.
Il risultato che stavamo cercando è 27,2.
Esempio 6
Approssimiamo lo stesso numero dell’esempio precedente ai centesimi.
Tracciamo una linea dopo la cifra che rappresenta i centesimi.
Guardiamo la cifra dopo la linea che abbiamo tracciato.
Riguardiamo l’orologio delle approssimazioni. Siccome dopo la linea abbiamo un 3, allora dobbiamo approssimare per difetto. Questo vuol dire che i numero dopo la linea si eliminano e quelli prima della linea si riscrivono così come sono.
Il risultato che stavamo cercando è 27, 18.
Esempio 7
Approssimiamo ai decimi il numero 10,1989
Seguiamo gli stessi passaggi che abbiamo eseguito negli eserici precedenti. Traccamo una linea dopo i decimi e guardiamo la cifra che c’è dopo la linea.
Abbiamo il numero 9. Se andiamo a guardare lo schema (l’orologio delle approssimazioni) ci rendiamo conto che dobbiamo approssimare per eccesso. Questo vuol dire che il numero prima della virgola va aumentato di 1 e le cifre dopo la virgola non si scrivono.
Il risultato che stavamo cercando è 10,2.
Esempio 8
Approssimiamo ai centesimi lo stesso numero dell’esempio 7
Procediamo allo stesso modo. Tracciamo una linea dopo il numero che rappresenta i centesimi e guardiamo solo la prima cifra dopo la linea.
Dopo la linea abbiamo il numero 8, questo vuol dire che dobbiamo approssimare per eccesso. Le cifre dopo la linea non si scrivono. La cifra prima della linea si aumenta di 1.
Attenzione in questo esercizio. Dobbiamo aumentare il numero 9 di 1. So cosa stai pensando: ” 9 + 1 = 10 “. Ma non possiamo scrivere 10. In questo caso non dobbiamo considerare solo il 9, ma il 19. Quindi l’approssimazione è così:
Sappiamo che gli zeri come ultima cifra dopo la virgola non hanno valore, quindi possiamo non scriverli:
10,20 = 10,2
Questo è il risultato che stavamo cercando. Esercizio concluso.
Esercizi
Adesso possiedi tutti gli strumenti necessari per approssimare corretamente i numeri decimali. Se vuoi, puoi metterti alla prova con gli esercizi che trovi nella tabella sotto per verificare se hai capito come si approssimano i numeri decimali. Non avere premura, lavora con calma e ragiona prima di scrivere. Le soluzioni le trovi alla fine dell’articolo.
Esercizi
Se vuoi puoi eseguire gli esercizi che vedi in basso. Lavora con calma e ragiona prima di rispondere. Non è una gara di velocità.
Buon lavoro.
Se hai perso le tavole numeriche puoi consultarle o scaricarle da questa pagina della Casa Editrice Zanichelli.
Se hai domande o vuoi segnalare un errore puoi scrivere alla casella mail: matematica.facile@libero.it ; saremo grati ai lettori che segnaleranno eventuali imprecisioni presenti nell’articolo.
Tabella con soluzioni
