Crea sito

Come si disegnano le altezze nei poligoni

In un articolo precedente abbiamo visto come si disegnano gli assi di un segmento. In questo articolo vedremo come si disegnano le altezze nei poligoni. Non è nulla di difficile, però è necessario sapere usare due squadre “a carrello” e bisogna fare attenzione a non confondersi tra asse di un segmento e altezza. Ma basta con le parole, cominciamo subito con qualche esempio.


indice


esempio 1

Cominciamo tracciando su un piano cartesiano i punti:

  • A (2;1)
  • B (8;1)
  • C (3; 5)

Adesso uniamo i punti in ordine alfabetico e otteniamo un triangolo come quello nell’immagine sotto.

Come si disegnano le altezze nei poligoni
Immagine realizzata usando il software GeoGebra gratuito e scaricabile alla pagina uffuciale del software

Molto bene. La definizione che il tuo libro dà di altezza, molto probabilmente somiglia a quella che leggi sotto:

“L’ altezza è la distanza tra un vertice e il lato opposto a quel vertice”

Cerchiamo di capire meglio. Dobbiamo tracciare un segmento che parte da un vertice ( i vertici sono i punti A, B e C ) e arriva al lato opposto in modo da formare un angolo retto.

La figura sotto spiega sicuramente meglio quello che hai appena letto.

Come si disegnano le altezze nei poligoni

Guardiamo la figura e cerchiamo di capire cosa abbiamo disegnato:

  • il punto H è chiamato piede dell’altezza;
  • il segmento CH è l’altezza relativa al lato AB e di solito viene indicata con la lettera minuscola “h”;
  • dato che CH è l’altezza relativa al lato AB, CH e AB formano un angolo di 90°.

esempio 2

Dato che un triangolo ha tre lati e dato che per ogni lato si può tracciare un’altezza questo vuol dire che in ogni triangolo ci sono 3 altezze.

Prendendo come esempio sempre lo stesso disegno tracciamo l’altezza relativa al lato CA. Detto in altre parole, dobbiamo tracciare un segmento che sia perpendicolare al lato CA e che deve passare per il vertice B. Come sempre è meglio osservare la figura.

Bene. Il segmento BT ( oppure TB, è la stessa cosa) è l’altezza relativa al lato AC, infatti è perpendicolare al lato AC e passa per il vertice B.


esempio 3

Dato che ci siamo, tracciamo anche la terza altezza per essere sicuri di avere capito come si disegnano le altezze nei poligoni. Cerchiamo un segmento che deve essere perpendicolare al lato BC e deve passare per il vertice A.

Benissimo, abbiamo tracciato le tre altezze del triangolo ABC.


l’ortocentro

Come avrai notato, le tre altezze si incontrano tutte in un unico punto che viene chiamato ortocentro.

Come si disegnano le altezze nei poligoni

Perfetto abbiamo concluso. Adesso però cerchiamo di capire come usare le squadre a carrello per tracciare un’altezza.


uso delle squadre a carrello

Vediamo adesso come usare le squadre a carrello per tracciare un’ altezza. Disegnamo su un piano cartesiano i punti:

  • A (3 ; 1)
  • B (10 ; 3)
  • C (1 ; 8)

Otteniamo il triangolo che vedi in figura.

Adesso, con le squadre a carrello tracciamo l’altezza relativa al lato BC.

Quindi stiamo cercando un segmento che sia perpendicolare a BC e che passi per il vertice opposto di BC, cioè per il punto A.

L’immagine animata sotto saprà spiegarti quello che dobbiamo fare meglio delle parole.

Come si disegnano le altezze nei poligoni

In questi esercizi non fidarti dei tuoi occhi o dei quadretti. Fidati solo delle squadre. Se le usi nel modo corretto, traccerai le altezze nel modo corretto.


Differenza tra altezza e asse

Molti studenti fanno confusione tra altezza e asse. Se osservi l’immagine animata in basso ti risulterà chiara la differenza tra altezza di un lato e asse di un segmento.

  • Sia l’altezza che l’asse devono essere perpendicolari rispetto al lato a cui si riferiscono.
  • Però l’altezza deve passare per il vertice opposto al lato (nell’immagine il vertice C).
  • Invece l’asse deve passare per il punto medio del lato (nell’immagine il punto M).
Come si disegnano le altezze nei poligoni
L’altezza si sposta seguendo il punto C. Invece l’asse rimane sempre fermo perchè deve passare per il punto medio M.

le altezze in un quadrilatero

Le altezze si possono tracciare anche per i quadrilateri, in realtà si possono tracciare per tutti i poligoni.

Un quadrilatero, dato che ha 4 lati, avrà quattro altezze.

Nell’immagine che vedi sotto ne sono state tracciate solo due:

  1. Una delle due altezze è il segmento DE: altezza relativa al lato AB;
  2. La seconda altezza è il segmento BF: altezza relativa al lato AD.
Come si disegnano le altezze nei poligoni
Non è un trapezio, infatti nei trapezi, due lati sono paralleli.

altezze esterne al poligono: triangolo ottusangolo

Un’altezza può anche essere esterna al poligono. Facciamo un esempio per capire meglio come si disegnano le altezze nei poligoni. Osserviamo la figura in basso e cerchiamodi tracciare l’altezza relativa al lato AB.

Dobbiamo quindi tracciare un segmento che sia perpendicolare ad AB e che deve passare per il vertice C.

Come vedi dalla figura in alto, per potere tracciare l’altezza CH, è stato necessario prolungare il lato AB ( la linea tratteggiata in nero).

Se volessimo calcolare l’area di questo triangolo, dovremmo moltiplicare la lunghezza del lato AB per la lunghezza dell’altezza CH e poi dividere il risultato ottenuto per 2.


altezze esterne al poligono: quadrilatero

Anche nel caso dei quadrilateri si possono avere altezze esterne. Ti anticipo che l’esempio che segue non viene quasi mai trattato a scuola, perchè si usa una figura che non è un quadrilatero “scolastico: rettangolo, rombo, quadrato, trapezio, parallelogramma, deltoide).

Riprendiamo come esempio il quadrilatero dell’ esempio precedente e cerchiamo di capire come si disegnano le altezze nei poligoni.

Tracciamo l’altezza relativa al lato BC. Dobbiamo quindi tracciare un segmento perpendicolare al lato BC e che passi per il vertice A.

So che non è una cosa immediata. Prima di tutto a scuola non si usano quadrilateri come quello in figura: non è regolare, non è un trapezio scaleno (nei trapezi due lati sono paralleli) è solo una figura con 4 lati oppure detta in modo diverso, è un quadrilatero irregolare. Questo esempio ci serve solo per vedere che anche nei quadrilateri è possibile avere altezze esterne.




Link utili

Cliccando qui si aprirà una nuova pagina della Casa Editrice Zanichelli in cui potrai consultare o scaricare le tavole numeriche.

Se ti piace la chimica, potresti visitare questa pagina, sempre della Zanichelli, in cui è possibile consultare una tavola priodica degli elementi interattiva.


Se hai domande o vuoi segnalare un errore puoi scrivere alla casella mail: matematica.facile@libero.it; saremo grati ai lettori che segnaleranno eventuali errori presenti nell’articolo.