Potenze con esponente negativo

Bene, diciamoci la verità. Hai capito le potenze, ma le potenze con esponente negativo proprio non ti riescono. Il fatto di vedere un numerino lì in alto a destra con il segno ‘meno’, ti fa venire il mal di testa. Non riesci a dare un senso a quella scrittura. Se le cose stanno così, non ti preoccupare, con un po’ di impegno e 5 minuti di tempo riuscirai a calcolare le potenze con esponente negativo.

All’inizio è normale avere un po’ di difficoltà con questo argomento. Alle medie, a volte, non viene nemmeno trattato, ma questo non vuol dire che sia troppo difficile. Ora giudicherai tu stesso.


indice


argomenti da sapere

Naturlamente per parlare di potenze con esponente negativo dobbiamo prima sapere:

  • Cosa sono le potenze.
  • Cosa si intende per esponente.
  • Cosa sono i numeri negativi.

Se vuoi ripassare le potenze o il concetto di esponente, potresti leggere il mio articolo : elevamento a potenza. Diciamo due parole sui numeri negativi.



cenni sui numeri negativi

Solo per essere estremamente chiari, facciamo un esempio pratico che riguarda i numeri negativi. Mentre scrivo, fuori c’è una giornata fredda. Il termometro mi dice che ci sono 4°C (si legge quattro gradi centigradi oppure quattro gradi Celsius).

La colonnina segna +4°C

Molto bene. Supponiamo che durante la notte inizi a soffiare un vento proveniente dalla Siberia e la temperatura si abbassi di 9°C ? A quale temperatura arriverà la colonnina del termometro?

Avremo questa situazione,

A che temperatura siamo arrivati? Siamo sotto zero. Più precisamente abbiamo una temperatura di 5°C sotto zero, che si può anche dire -5°C (si legge meno cinque gradi centigradi oppure meno cinque gradi Celsius).

-5 è un numero negativo

Questo esempio serve per dimostrarti che fino a ora hai usato di continuo i numeri negativi senza farci caso. Ad esempio, sicuramente in inverno hai sentito dire più volte -“Sta mattina ci sono meno tre gradi“-. Ecco, “– 3” è un altro numero negativo.

Come hai intuito, tutti quei numeri che hanno il segno ‘meno’ davanti sono numeri negativi, che appartengono all’insieme dei numeri relativi, ma questo sarà argomento di un altro articolo. Torniamo alle nostre potenze con esponente negativo e facciamo alcuni esempi con i numeri.


esempio 1

Ti dico subito che all’inizio il procedimento ti sembrerà macchinoso. Ma abbi fiducia, dopo tre o quattro esercizi tutto sarà più facile.

Cerchiamo di calcolare 10-2 , che si legge dieci elevato alla meno 2.

Partiamo dalla fine, cioè dal risultato e poi cerchiamo di capire come ci siamo arrivati.

Potenze con esponente negativo

primo passaggio

La prima cosa da fare per calcolare una potenza con esponente negativo è tracciare una linea di frazione e mettere come numeratore il numero 1.

secondo passaggio

La seconda cosa da fare è determinare il denominatore. Al denominatore mettiamo la potenza con l’ esponente positivo. Nel nostro caso al denominatore

10-2 diventa 102

Potenze con esponente negativo

Terzo passaggio

Bene, adesso abbiamo una potenza con esponente positivo. Sappiamo quale è il suo significato e la sappiamo calcolare:

102 = 10 · 10 = 100

Con le potenze che hanno esponente 2 oppure 3, è anche possibile usare le tavole numeriche. Se non ti ricordi come si usano le tavole numeriche, potresti dare un’occhiata al mio articolo: come si usano le tavole numeriche.

Al denominatore mettiamo il risultato dell’elevamento a potenza, cioè 100.

Fantastico, abbiamo ottenuto la frazione un centesimo (che si può anche leggere uno su cento). Potremmo anche fermarci qua, dipende da cosa chiede l’esercizio o cosa chiede la tua prof.

Quarto passaggio

È possibile andare avanti. Infatti, come ho già avuto modo di dirti, le frazioni sono divisioni scritte in modo diverso. Possiamo trasformare la frazione in numero decimale. Quindi possiamo scrivere:

Potenze con esponente negativo

Dalle elementari ci ricordiamo come si eseguono le divisioni per 100 (oppure se la prof lo permette possiamo usare la calcolatrice ed eseguire la divisione 1 : 100).

Potenze con esponente negativo

Otteniamo come risultato 0,01 che si può anche leggere un centesimo. Esercizio concluso.

So che ti è sembrato lungo e complicato, ma dammi fiducia. Facciamone un altro e vediamo se va meglio. All’inizio è normale pensare “Non ci ho capito niente”, ma non arrenderti.



esempio 2

Calcoliamo sette elevato alla meno tre.

passaggio 1

La prima cosa da fare è tracciare una linea di frazione e scrivere al numeratore il numero 1.

Fin qui niente di difficile. Andiamo avanti.

Passaggio 2

Al denominatore mettiamo la potenza da cui siamo partiti, però la scriviamo con l’esponente positivo.

Potenze con esponente negativo

Molto bene. Anche questo passaggio non presenta grandi difficoltà. Andiamo avanti.

passaggio 3

Al denominatore adesso abbiamo sette alla terza. È una potenza che sappiamo maneggiare:

73 = 7 · 7 · 7 = 343

Oppure possiamo usare le tavole numeriche:

Quindi possiamo scrivere:

Potenze con esponente negativo

Abbiamo ottenuto la frazione 1 fratto 343. Potremmo anche fermarci qua. Questo potrebbe essere il nostro risultato. Se l’esercizio richiede di ottenere un numero decimale, allora dobbiamo andare avanti.

passaggio 4

Dobbiamo eseguire la seguente divisione:

1 : 343 ~ 0.0029

Potenze con esponente negativo
Il risultato è approssimato alla quarta cifra decimale

Esercizio concluso. Non è poi così difficile come sembrava all’inizio.


esempio 3

Calcoliamo due elevato alla meno quattro.

2-4 = ?

Potenze con esponente negativo

Esercizio concluso.


esercizi

Adesso prova da solo a risolvere alcuni esercizi. Il primo è già stato svolto, ma gli altri li devi risolvere da solo. Non ti do gli altri risultati e ti spiego perchè. Quando andrai a fare la verifica non avrai i risusltati, devi avere fiducia in te stesso e in quello che scrivi. Se ti sarai impegnato nel modo corretto (vuol dire per esempio studiare senza avere il cellulare vicino e con la tv spenta) la verifica andrà bene.

Esercizi con potenze con esponente negativo

Buon lavoro e in bocca al lupo.


esercizi in pdf

Adesso, se vuoi puoi metterti alla prova con gli esercizi che trovi nel file pdf sotto. Lavora con calma e senza fretta.

  Potenze con esponente negativo – Esercizi.pdf

Buon lavoro.

 


risposta al commento

Grazie Maurizio per averci contattato. La tua è una buona domanda. Maurizio scrive per chiedere:

“Perchè per cambiare l’esponente da più a meno, occorre fare il reciproco della base”.

Per rispondere, abbiamo deciso di scrivere un paragrafo apposito, perchè la spiegazione necessita di qualche formula. Spesso questa spiegazione non viene affrontata alle medie, in alcuni libri di testo infatti non si trova. Ma vedrete che non è nulla di impossibile, a patto di conoscere le proprietà delle potenze.

Riprendiamo come esempio il primo esercizio svolto:

10-2 = ?

Possiamo immaginare la potenza dieci elevato alla meno due come il risultato della divisione che leggi nella lavagna sotto.

Potenze con esponente negativo

Molto bene. Adesso scriviamo la divisione sotto forma di frazione. Ti ricordo che eseguire una frazione è la stessa cosa di eseguire una frazione, infatti una frazione è una divisione scritta in modo diverso.

Adesso sviluppiamo le potenze, cioè scriviamo le potenze come moltiplicazioni.

Ti ricordo che stiamo facendo tuttu questo per capre per quale motivo una potenza con esponente negativo si risolve elevando all’esponente positivo l’inverso della base.

Potenze con esponente negativo

Ora andiamo a semplificare i 10 al numeratore con quelli al denominatore.

Potenze con esponente negativo

Al numeratore rimane 1, invece al denominatore rimane 100.

Potenze con esponente negativo

Ma il numero 100 al denominatore può essere scritto come dieci alla seconda, per cui il risultato finale è quello che leggiamo nella lavagna sotto.

Potenze con esponente negativo

Lo staff di MF, ringrazia Maurizio per averci posto la domanda che ci ha permesso di spiegare la risoluzione delle potenze con esponente negativo.



Cliccando qui verrai reindirizzato in una pagina della Casa Editrice Zanichelli in cui potrai consultare le tavole numeriche. Puoi anche liberamente scaricarle come file pdf per averle sempre a disposizione anche quando sei off-line.


Se hai dubbi vuoi segnalare un errore puoi scrivere alla casella mail: matematica.facile@libero.it ; saremo grati ai lettori che segnaleranno eventuali errori presenti nell’articolo.

2 Risposte a “Potenze con esponente negativo”

  1. Buon giorno Maurizio,
    grazie per averci scritto.
    Per rispondere in modo esauriente alla tua domanda,
    abbiamo aggiunto un paragrafo alla fine dell’articolo.

    Grazie

    Cordialmente

    Lo staff di MF

  2. perchè, per cambiare l’esponente da meno a più, occorre, fare il reciproco della base?

I commenti sono chiusi.